2023　海上保安大学校　記述問題MathJax

【１】　以下の設問に答えよ．

(1)　${72}^{100}$の桁数を求めよ．ただし，${\log }_{10}2=0.3010\text{，}$${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【１】　以下の設問に答えよ．

(2)　次の和を求めよ．

$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\cdots +50\cdot 51$

【１】　以下の設問に答えよ．

(3)　$a\text{，}$$b$を定数とする．$2$次関数$y=f(x)$$=3x^2+ax+b$の点$(2,f(2))$における接線の方程式が$y=2x-3$であるとき，$a\text{，}$$b$の値を求めよ．

【１】　以下の設問に答えよ．

(4)　四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA}=2\text{，}$$\mathrm{OB}=3\text{，}$$\mathrm{OC}=5\text{，}$$\mathrm{\angle AOB}$$=\mathrm{\angle BOC}$$=\mathrm{\angle COA}=60\mathrm{°}$とする．また，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}\text{，}$$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}\text{，}$$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．頂点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{CH}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}$$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$において，$\mathrm{\angle B}=2\theta \text{，}$$\mathrm{\angle C}=\theta \text{，}$$\mathrm{AB}=2$とする．ただし，$0<\theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．直線$\mathrm{BC}$上に，$\mathrm{AH}\perp \mathrm{BC}$となる点$\mathrm{H}$をとる．また，直線$\mathrm{CA}$上に，$\mathrm{BI}\perp \mathrm{CA}$となる点$\mathrm{I}$をとる．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)　線分$\mathrm{AH}$の長さを$\cos \theta \text{，}$$\sin \theta$を用いて表せ．

(2)　辺$\mathrm{BC}$及び線分$\mathrm{BI}$の長さを$\sin \theta$を用いて表せ．

(3)　線分$\mathrm{BI}$の長さの最大値及びそのときの$\theta$の値を求めよ．

【３】　以下の設問に答えよ．

(1)　$n$が自然数のとき，$n^3$が偶数ならば$n$も偶数であることを証明せよ．

(2)　(1)を用いて，$2$の$3$乗根$\sqrt[3]{2}$が無理数であることを証明せよ．

(3)　(2)を用いて，$a\text{，}$$b$が有理数であるとき，$a+\sqrt[3]{2}b=0$ならば$a=b=0$であることを証明せよ．