2024　小樽商科大学　前期MathJax

【１】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　$a$と$b$を実数とする．$x$に関する$3$次方程式$x^3+a{x}^2+x+b=0$が$x=1+i$を解に持つとき，他の$2$つの解を求めると，$x=\text{(a)}$である．ただし，$i$は虚数単位とする．

【１】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　座標平面において，点$(2,2)$を中心とし半径が$2$の円を$C_1\text{，}$点$(3,3)$を中心とし半径が$2$の円を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$の共有点の座標をすべて求めると，$(x,y)=\text{(b)}$である．

【１】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　$a$を実数とする．$x$に関する$2$つの$2$次方程式$x^2-2ax-a+6=0$および$4x^2-4ax-5a+6=0$について，一方が実数解を持ち，他方は実数解を持たないような$a$の範囲を求めると，$\text{(c)}$である．

【２】　$0\leqq n\leqq 2024$を満たす整数$n$に対し，${(x+6)}^{2024}$の展開式における$x^n$の係数を$a_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　二項定理を用いて，$a_n$を$n$の式で表せ．

(2)　$0\leqq k\leqq 2023$を満たす整数$k$に対し，${\displaystyle \frac{a_{k+1}}{a_k}}$を$k$の式で表せ．

(3)　$a_n$を最大にする$n$の値を求めよ．

【３】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(1)　$a$を実数とする．$x$に関する$3$次方程式$x^3-3x^2+a=0$が異なる$2$つの実数解を持つような$a$をすべて求めると，$a=\text{(ア)}$である．

【３】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(2)　$4^{m+1}-2^{m+4}+1\leqq 0$を満たす整数$m$は全部で$\text{(イ)}$個ある．

【３】　次の$$に適当な数式を補って，それを答案用紙に書け．証明や説明を書かないこと．

(3)　$1$から$10$までの数字が$1$つずつ書かれた$10$枚のカードがある．この中から$3$枚のカードを同時に取り出し，その中で最大の数字を$x$とする．$5\leqq x\leqq 7$となる確率は$\text{(ウ)}$である．

【４】　$a$を正の実数とする．放物線$y=1-x^2$上の点$(a,1-a^2)$における接線を$l$とする．$l$と$x$軸の交点を$\mathrm{A}\text{，}$$l$と直線$y=1$の交点を$\mathrm{B}$とし，点$(0,1)$を$C$とする．原点を$\mathrm{O}$とし，台形$\mathrm{OABC}$の面積を$S(a)$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S(a)$を$a$の式で表せ．

(2)　$S(a)$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

【５】　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}\log x$の$1\leqq x\leqq 2$の部分の長さを求めよ．ただし，$\log x$は自然対数とする．