2024　お茶の水女子大学　前期理学部選択MathJax

$f(x)=k{x}^2+a\text{，}$$g(x)={\displaystyle {\int }_0^x}{\displaystyle \frac{\mathit{dt}}{1+t^2}}$

とおく．「実数全体で定義された二つの関数$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$のグラフが$1$点のみを共有する」という条件♠を考える．

(1)　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$を満たす実数$\theta$について$g(\tan \theta )=\theta$を示せ．

(2)　どの正の実数$k$に対しても，条件♠を満たす実数$a$がただ一つだけ存在することを示せ．またこの$a$を$k$の関数とみなすとき，極限$\underset{k\to +0}{\lim }a$を求めよ．

(3)　$k={\displaystyle \frac{1}{4}}$とするとき，条件♠を満たす$a$の値を求め，この$a$について$y=f(x)\text{，}$$y=g(x)$のグラフと$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

$f_0(x)=0\text{，}$$f_1(x)=1\text{，}$$f_{n+2}(x)-x{f}_{n+1}(x)+f_n(x)=0$

によって$x$の整式$f_0(x)\text{，}$$f_1(x)\text{，}\cdots$を定める．

(1)　$0$でない複素数$z$に対して

$g_n(z)=f_{n+1}(z+{\displaystyle \frac{1}{z}})-z{f}_n(z+{\displaystyle \frac{1}{z}})\text{，}$

$h_n(z)=f_{n+1}(z+{\displaystyle \frac{1}{z}})-{\displaystyle \frac{1}{z}}{f}_n(z+{\displaystyle \frac{1}{z}})$

とおくとき，

$g_{n+1}(z)={\displaystyle \frac{1}{z}}{g}_n(z)\text{，}$$h_{n+1}(z)=z{h}_n(z)$

が成り立つことを示せ．

(2)　$z$を$0$でない複素数とするとき，$n$と$z$を用いて$f_n(z+{\displaystyle \frac{1}{z}})$を表せ．

(3)　$\sin \theta \ne 0$を満たす実数$\theta$について

$f_n(2\cos \theta )={\displaystyle \frac{\sin n\theta }{\sin \theta }}$

を示せ．

(4)　$f_{2024}(\sqrt{3})\text{，}$$f_{2024}(-2)$の値を求めよ．

(1)　$\mathrm{O}$$(0,0)$を原点とする．$\mathrm{O}$とは異なる$\Gamma$上の$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で$\mathrm{▵OPQ}$が正三角形となるものを一組挙げよ．

(2)　$0<a<b$とする．$\Gamma$上の$2$点$\mathrm{A}$$(a,a^2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(b,b^2)$を通る直線と$x$軸がなす角を$\theta$とするとき，$a\text{，}$$b$を用いて$\tan \theta$を表せ．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

(3)　$a>0$とする．$\Gamma$上の$3$点$\mathrm{A}$$(a,a^2)\text{，}$$\mathrm{B}$$(b,b^2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(c,c^2)$が条件

$c<a<b\text{，}$${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}<a+b\text{，}$$\mathrm{\angle BAC}={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$

を満たしているとき，$a\text{，}$$b$を用いて$c$を表せ．

(4)　座標平面上の$2$点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の距離を $\overline{\mathrm{PQ}}$で表す．与えられた$\mathrm{A}$$(a,a^2)$$\text{（}a>0\text{）}$に対して，(3)の条件に加えて$\overline{\mathrm{AB}}<\overline{\mathrm{AC}}$を満たす$\mathrm{B}$$(b,b^2)\text{，}$$\mathrm{C}$$(c,c^2)$が存在することを示せ．

(5)　$\Gamma$上のどの点$\mathrm{A}$に対しても$\mathrm{A}$とは異なる$\Gamma$上の$2$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$で$\mathrm{▵ABC}$が正三角形となるものが存在することを示せ．