2024　一橋大学　前期MathJax

【１】　${\displaystyle \sum _{k=1}^m}k(n-2k)=2024$を満たす正の整数の組$(m,n)$を求めよ．

【２】　$a\text{，}$$b$を実数とする．曲線$C\text{：}y=x^2$と曲線$C^{\prime }\text{：}y=-x^2+ax+b$はある点を共有しており，その点におけるそれぞれの接線は直交している．$C$と$C^{\prime }$で囲まれた部分の面積の最小値を求めよ．

【３】　$f(x)$は$x$に関する$4$次多項式で$4$次の係数は$1$である．$f(x)$は${(x+1)}^2$で割ると$1$余り，${(x-1)}^2$で割ると$2$余る．$f(x)$を求めよ．

【４】　実数$a\text{，}$$b$は$-1<a<1\text{，}$$-1<b<1$を満たす．座標空間内に$4$点$\mathrm{A}$$(a,-1,-1)\text{，}$$\mathrm{B}$$(-1,b,-1)\text{，}$$\mathrm{C}$$(-a,1,1)\text{，}$$\mathrm{D}$$(1,-b,1)$をとる．

(1)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$がひし形の頂点となるとき，$a$と$b$の関係を表す等式を求めよ．

(2)　$a\text{，}$$b$が(1)の等式を満たすとき，$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$を頂点とする四角形の面積の最小値を求めよ．

【５】　$n$を$3$以上の奇数とする．円に内接する正$n$角形の頂点から無作為に相異なる$3$点を選んだとき，その$3$点を頂点とする三角形の内部に円の中心が含まれる確率$p_n$を求めよ．