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2024-10561-0101
2024 大阪大学 前期
理系(理,医(医,保健(放射線技術,検査技術)),歯,薬,工,基礎工学部)
配点率20%
易□ 並□ 難□
【1】 自然数 n に対して,関数 fn ⁡(x ) を
fn⁡( x)=1- 12 ⁢en⁢x +cos⁡ x3 (x≧ 0)
で定める.ただし, e は自然対数の底である.
(1) 方程式 fn ⁡(x) =0 は,ただ 1 つの実数解をもつことを示せ.
(2) (1)における実数解を an とおくとき,極限値 lim n→∞ an を求めよ.
(3) 極限値 limn →∞n ⁢an を求めよ.
2024-10561-0102
【2】 α , β を複素数とし,複素数 z に対して
f⁡(z )=z2 +α⁢z+ β
とおく. α, β は
|f⁡( 1)-3 |≦1 かつ |f ⁡(i) -1|≦3
を満たしながら動く.ただし, i は虚数単位である.
(1) f⁡(1+ i) がとりうる値の範囲を求め,複素数平面上に図示せよ.
(2) f⁡(1+ i)=0 であるとき, α, β の値を求めよ.
2024-10561-0103
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文系【2】の類題
【3】 空間内の 2 直線 l , m はねじれの位置にあるとする. l と m の両方に直交する直線がただ 1 つ存在することを示せ.
2024-10561-0104
【4】 a>1 とする. x⁣y 平面において,点 (a ,0) を中心とする半径 1 の円を C とする.
(1) 円 C の x≧a の部分と y 軸および 2 直線 y=1 , y=-1 で囲まれた図形を y 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積 V1 を求めよ.
(2) 円 C で囲まれた図形を y 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を V2 とする.(1)における V1 について, V1=2⁢ V2 となる a の値を求めよ.
2024-10561-0105
【5】 自然数 1 , 2, 3, ⋯, n のうち, n と互いに素であるものの個数を f⁡( n) とする.
(1) 自然数 a , b, c および相異なる素数 p , q, r に対して,等式
f⁡(p a⁢qb⁢ rc)= pa-1 ⁢qb-1 ⁢rc- 1⁢(p -1)⁢ (q-1) ⁢(r-1 )
が成り立つことを示せ.
(2) f⁡(n ) が n の約数となる 5 以上 100 以下の自然数 n をすべて求めよ.
2024-10561-0106
文系(文,人間科,法,経済,医(保健(看護学)),外国語学部)
配点率35%
【1】 曲線 y= |x2- 1| を C , 直線 y=2 ⁢a⁢(x +1) を l とする.ただし, a は 0<a <1 を満たす実数とする.
(1) 曲線 C と直線 l の共有点の座標をすべて求めよ.
(2) 曲線 C と直線 l で囲まれた 2 つの部分の面積が等しくなる a の値を求めよ.
2024-10561-0107
理系【3】の類題
【2】 座標空間内の直線 l と z 軸はねじれの位置にあるとする. l と z 軸の両方に直交する直線がただ 1 つ存在することを示せ.
2024-10561-0108
配点率30%
【3】 素数を小さい順に並べて得られる数列を
p1,p 2,⋯, pn,⋯
とする.
(1) p15 の値を求めよ.
(2) n≧12 のとき,不等式 pn >3⁢n が成り立つことを示せ.