2024　広島大学　総合型選抜情報科学部小論文MathJax

【１】　$n$を$2$以上の自然数とする．$n+1$個のデータ$x_1\text{，}\cdots \text{，}$$x_{n+1}$が得られているとき，最初の$n$個のデータ$x_1\text{，}\cdots \text{，}$$x_n$の平均を$m\text{，}$分散を$s^2$とし，全てのデータ$x_1\text{，}\cdots \text{，}$$x_{n+1}$の平均を$m_{+}\text{，}$分散を$s_{+}^2$とする．また，$x_1\text{，}\cdots \text{，}$$x_{n+1}$の中から，最大値と最小値をそれぞれ一つずつ取り除いた$n-1$個のデータの平均を$m_{-}\text{，}$ 分散を$s_{-}^2$とする．以下の問いに答えよ．

(1)　$m_{+}$を$m\text{，}$$x_{n+1}\text{，}$$n$を用いて表せ．

(2)　$s_{+}^2$を$s^2\text{，}$$m_{+}\text{，}$$x_{n+1}\text{，}$$n$を用いて表せ．また，$x_1\text{，}\cdots \text{，}$$x_n$を与えた下で，$s_{+}^2$が最小となる$x_{n+1}$を求めよ．

　以下では，$n=3$とし，$x_1=-2\text{，}$$x_2=0\text{，}$$x_3=4\text{，}$$x_4=a$とする．ただし，$a$は実数である．

(3)　$m_{-}$を$a$の関数とみなすとき，$-4\leqq a\leqq 6$の範囲でこの関数のグラフをかけ．

(4)　$s_{-}^2$を$a$の関数とみなすとき，$-4\leqq a\leqq 6$の範囲でこの関数のグラフをかけ．

【２】　以下の問いに答えよ．

(1)　$a^3+b^3+c^3-3abc$を因数分解せよ．

(2)　$\alpha >0\text{，}$$\beta >0\text{，}$$\gamma >0$のとき，不等式${\alpha }^3+{\beta }^3+{\gamma }^3\geqq 3\alpha \beta \gamma$が成り立つことを示せ．また，等号成立の条件を述べよ．

(3)　関数$f(x)=x^4-4x+4$の最小値を求めよ．

(4)　関数$g(x)=2x^4-8x+{\displaystyle \frac{1}{{(x^4-4x+4)}^2}}$の最小値を求めよ．

【３】　$b_1\text{，}$$b_2\text{，}\cdots \text{，}$$b_n$のラベルの付いた$n$個のボールがある．このボール$1$個の質量は$100\mathrm{g}$であるが，$n$個のうち$1$個だけ，質量が$95\mathrm{g}$の不良品であることが分かっている．質量が測定できるはかりを用いて，この不良品のボールを見つけるために，以下の$2$つの手法を考える．ただし，$n=2^m$$\text{（}m$は自然数）とする．

　以下の問いに答えよ．

(ⅰ)　手法１を実行したとき，不良品が最も早く見つかる場合と最も遅く見つかる場合それぞれの，(3)の実行回数を答えよ．

(ⅱ)　手法２で，(3)を$k$回実行した後に不良品の可能性のあるボールの個数を$n$と$k$の式で表せ．

(ⅲ)　それぞれの手法で，不良品が最も遅く見つかる場合を考える．その際の，手法２における(3)の繰り返し回数を$n$の式で表し，どちらの手法がより少ない繰り返し回数で不良品を見つけられるかを答えよ．