1918　旧制高校選抜試験

【１】　${\displaystyle \frac{x\mathrm{+}24}{x^3+x^2-3x-6}}+{\displaystyle \frac{x-15}{x^3+2x^2-3}}$を簡単にせよ．

【２】　二万斤以上の石炭を若干の人夫にて或場所より他の場所に運搬するに$8$時間を要せり．次に$8$人の人夫を増し各人の$1$時間の運搬量を$5$斤づつ減じたるに$7$時間にて運搬せり又$8$人の人夫を減じ各人の$1$時間の運搬量を$11$斤ずつ増したるに$9$時間にて運搬せりといふ．初め幾人の人夫を使用したるか．

【３】　次の連立方程式を解け．

${\displaystyle \frac{x^3}{y}}-{\displaystyle \frac{y^3}{x}}={\displaystyle \frac{15}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{x}{y}}-{\displaystyle \frac{y}{x}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$

【４】　$({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}})(a+b+c)=1$なるときは$a\text{，}b\text{，}c$の何れか二つの和は零なるべきことを証せよ．

【５】　直線$\mathrm{LM}$の一つの側に二点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}$他の側に一点$\mathrm{C}$あり$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$より$\mathrm{LM}$に下せる垂線$\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{BE}$の和が$\mathrm{C}$より$\mathrm{LM}$に下せる垂線$\mathrm{CF}$に等しきときは$\mathrm{LM}$は三角形$\mathrm{ABC}$の重心を過ることを証せよ．

【６】　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$の頂点$\mathrm{A}$を過る任意の直線が対角線$\mathrm{BD}$及辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}$（又はそれ等の延長）に交わる点を夫々$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とすれば$\mathrm{AP}$上の正方形の面積は$\mathrm{PQ}\text{，}\mathrm{PR}$の包む矩形の面積に等しきことを証せよ．

【７】　${\displaystyle \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}+{\displaystyle \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}}$を簡単にせよ．

【８】　風速毎秒$20$米の順風なるときは打杭工事の打込を目撃してより$1{\displaystyle \frac{3}{5}}$秒，同風速の逆風なるときは$1{\displaystyle \frac{4}{5}}$秒を隔てて音響を聞く然らば無風のときは幾秒の後音響を聞くべきか．

【９】　二つの相切する等しき円と其の共通切線との間に正方形を画くときは其の辺の長さ幾何なるか．但し各円の直径を$1$尺とし正方形の二つの頂点は一つづつ二つの円周上にあり且一つの辺は共通切線上にあるものとす．

【10】　$1$より始まれる自然数を次の如く区割に分つときは第$n$番目の区割の数の和は幾何なるか．

$|1,2|3,4,5,6|7,8,9,10,11,12|13,\cdots ,20|\cdots$

【11】　$\log (xy)=\log x+\log y$を証せよ．

【12】　三角形$\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}$を過りて直線$\mathrm{AD}$を引き$\mathrm{AD}$上に於ける$\mathrm{AB}$及$\mathrm{AC}$の正射影の和が最も大なる様にせよ．

【13】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$は円周上の三定点なりとす$\mathrm{A}$より$\mathrm{B}$及$\mathrm{C}$に於ける切線に平行なる直線を引き弦$\mathrm{BC}$（或は其の延長）と夫々$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$にて交はらしむるときは$\mathrm{AD}$と$\mathrm{AE}$とは相等しく且$\mathrm{AD}$は$\mathrm{BD}$と$\mathrm{CE}$との比例中項なることを証せよ．