1929　府立高等学校入学選抜試験

【１】　${\displaystyle \frac{x^3-x^2-8x+12}{x^3+4x^2-3x-18}}$を約分せよ．

【２】　$a+b+c+d=x\text{，}a+b-c-d=y\text{，}a-b+c-d=z\text{，}a-b-c+d=u$とするとき$ab(a^2+b^2)=cd(c^2+d^2)$ならば$xy(x^2+y^2)=zu(z^2+u^2)$なることを証明せよ．

【３】

$\begin{array}{l}\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=2\\ x^2-y^2+x-2=0\end{array}\}$

を解け．

【４】　三角形$\mathrm{ABC}$の底辺$\mathrm{BC}$を四ケに等分しその分点をそれぞれ${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3$とす，次にこれらの点を頂点$\mathrm{A}$に結び且

$\mathrm{A}{\mathrm{A}}_1=l_1\text{，}\mathrm{A}{\mathrm{A}}_2=l_2\text{，}\mathrm{A}{\mathrm{A}}_3=l_3$

とおく．$l_1\text{，}{l}_2\text{，}{l}_3\text{，}$をこの三角形の三辺によりて表はすべき式を作れ．

　又$5{l_2}^2⪋2({l_1}^2+{l_2}^2)$に従ってこの三角形は鋭角，直角，又は鈍角三角形なることを示せ．

【５】　各項が正なる等比級数あり．その第$9$項は$16$にして第$13$項は$64$なりとす．この級数の最初より第$n$項までの和を$A+B\sqrt{2}$なりとするときは最初より第$n+1$項までの和は$2B+1+A\sqrt{2}$なることを証明せよ．ここに$A$と$B$は整数を表す．

【６】　半径$B$なる円に内接する正$n$辺形の一辺の長さを$l_n$にて表はすとき同じ円に内接する正$2n$辺形の一辺の長さ$l_{2n}$は次式によりて与へらるることを証明せよ．

$l_{2n}=\sqrt{R(2R-\sqrt{4R^2-{l_n}^2})}$

　次にこの公式によりて半径が$1$なる円に内接する正十二辺形の一辺の長さを小数第$2$位まで計算せよ．