1932　第六高等学校入学選抜試験

【１】

$x+y=1\text{，}xy=2\text{，}$

$x^{\prime }+y^{\prime }=3\text{，}{x}^{\prime }\cdot y^{\prime }=4\text{，}$

$X=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }\text{，}Y=x{y}^{\prime }+x^{\prime }y\text{，}$

なるとき$X^3+Y^3$の値を求めよ．

【２】　$abc(p+q+r)\ne 0$にして且つ

${\displaystyle \frac{x-y}{ap+bq+cr}}={\displaystyle \frac{y-z}{bp+cq+ar}}={\displaystyle \frac{z-x}{cp+cq+br}}$

なるとき次の式を証明せよ．

${\displaystyle \frac{x-y}{ab}}(a^2+b^2-c^2)+{\displaystyle \frac{y-z}{bc}}(b^2+c^2-a^2)+{\displaystyle \frac{z-x}{ca}}(c^2+a^2-b^2)=0$

【３】　三数$A\text{，}B\text{，}C$あり．

$A=1+2+3+\cdots +n\text{，}$

$C=1^3+2^3+3^3+\cdots +n^3\text{，}$

にして$B$も亦$n$項の和より成り，其の第一項，第二項，第三項，第四項，⋯は夫々

$1\text{，}(2+3)\text{，}(4+5+6)\text{，}(7+8+9+10)\text{，}\cdots$

なりとせば$A\text{，}B\text{，}C$は等差級数をなすことを証明せよ．

【４】　二等辺三角形あり，高さの$2$倍と周との和は$P$にして面積は$S$なりと云ふ，各辺の長さを求めよ．

【５】　中心$\mathrm{O}\text{，}$半径$r$なる円の周上にあらざる一定点$\mathrm{P}$を通る任意の割線が円周と交はる点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$とせば，$\mathrm{PA}\cdot \mathrm{PB}$は一定にして而も${\mathrm{OP}}^2~r^2$に等しきことを証明せよ．

【６】　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$を夫々一辺として正$l\text{，}m\text{，}n$角形を作り，此等三つの正多角形の各の外接円を考ふるに，周は何れも三角形内の同一点$\mathrm{P}$を通り，中心は夫々直線$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$に対して$\mathrm{P}$と反対の側にありと云ふ，然るときは

${\displaystyle \frac{1}{l}}+{\displaystyle \frac{1}{m}}+{\displaystyle \frac{1}{n}}=1$

なることを証明し以て$l\text{，}m\text{，}n$の値を求めよ．