1932　新潟高等学校入学選抜試験

【１】　次の方程式を解け．

${\displaystyle \frac{1}{x-\sqrt{2-x^2}}}-{\displaystyle \frac{1}{x+\sqrt{2-x^2}}}=1$

【２】　$x-y$が${\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{y}}$に反比例するならば，$x^2+y^2$は$xy$に正比例することを証明せよ．

【３】　$m{x}^2-(m+3)x-5m+2=0$なる方程式に於て，$m$を実数とすれば，二根は必ず相異なる実数なることを証し，且つ二根の差を$28$ならしむる如き$m$の値を定めよ．

【４】　${\displaystyle \frac{3+\sqrt{5-\sqrt{13+4\sqrt{3}}}}{\sqrt{7-4\sqrt{3}}}}$を簡単にせよ．

【５】　直径$50\mathrm{m}$の円周上に等距離を隔てて$30$本の杭あり．或杭$\mathrm{P}$より円周に沿ひて$\stackrel{⏜}{\mathrm{PA}}=1\mathrm{m}$の点$\mathrm{A}$に立てる人あり．今此人全部の杭を円周上を歩みて成るべく早く$\mathrm{A}$に集めんと欲せば何程の長さを歩むを要するや．

　但し一度に一本の杭を運ぶものとする．

【１】　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$内に一点$\mathrm{P}$を取り，$\mathrm{\angle BAP}=\mathrm{\angle BCP}$ならしむれば，$\mathrm{\angle ABP}=\mathrm{\angle ADP}$なることを証明せよ．

【２】　円形をなせる池の周囲に道路あり．$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の三人同時に其道路の同一地点を発し，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は同じ向きに，$\mathrm{C}$は$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$と反対の向きに池を廻りしに，$\mathrm{C}$は$\mathrm{A}$と出会ひたる後$10$秒にして$\mathrm{B}$に出会へり．然るに$\mathrm{C}$が$\mathrm{B}$に出会ひし時迄には$\mathrm{A}$は既に全周の${\displaystyle \frac{5}{6}}$を走りたりといふ．$\mathrm{C}$が池を一周するに要する時間を$45$秒とせば，$\mathrm{A}$及び$\mathrm{B}$が一周するにはそれぞれ何程の時間を要するか．

【３】　定直線$\mathrm{XY}$の同じ側にありて，$\mathrm{XY}$と共通点を有せず，且つ互に他の外部にある二円を$O\text{，}{O}^{\prime }$とす．今$\mathrm{XY}$上に一点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$より$\mathrm{O}\text{，}{\mathrm{O}}^{\prime }$に切線$\mathrm{PM}\text{，}\mathrm{PN}$を作り$\mathrm{PM}+\mathrm{PN}$を最小ならしめよ．

【４】　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3\text{，}\cdots \text{，}{a}_n\text{，}\cdots$なる級数あり．此級数の相隣れる各項の差：即ち

$b_1=a_2-a_1\text{；}{b}_2=a_3-a_2\text{；}{b}_3=a_4-a_3\text{；}\cdots \text{；}{b}_n=a_{n+1}-a_n\text{；}\cdots$

を作りしに$b_1\text{，}{b}_2\text{，}{b}_3\text{，}\cdots \text{，}{b}_n\text{，}\cdots$は等比級数なりしといふ．$a_n$を$a_1\text{，}{b}_1\text{，}{b}_2$によりて表はせ．

【１】　　連立方程式

${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$

$y=mx+b$

を満足する$x\text{，}y$の値が唯一組なる時$m$の値如何．

【３】　右図に於て$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$より$\mathrm{OX}$に下せる垂線の足を$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{N}$とす．

$\mathrm{OM}=4\mathrm{m}\text{，}\mathrm{ON}=11\mathrm{m}\text{，}$

$\mathrm{AM}=7\mathrm{m}\text{，}\mathrm{BN}=9\mathrm{m}\text{，}$

として三角形$\mathrm{OAB}$の面積を求む．

【３】　次の方程式を解け．

$6x^4-25x^3+12x^2+25x+6=0$

【４】　三角形$\mathrm{ABC}$の三つの頂角の二等分線をそれぞれ$\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{BE}\text{，}\mathrm{CF}$とし，これらが対辺との交点を$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とす．$\mathrm{▵ABC}$と$\mathrm{▵DEF}$との面積の比を求む．

　但し$\mathrm{BC}=a\text{，}\mathrm{CA}=b\text{，}\mathrm{AB}=c$として計算せよ．