1932　山口高等学校入学選抜試験

【１】　$a\text{，}b\text{，}m\text{，}n$が実数にして${\displaystyle \frac{a}{b}}\ne {\displaystyle \frac{m}{n}}$なるときは$m^{2}b(a+b)+n^{2}a(a+b)-ab(m+n^2)$は常に正なることを証せよ．

(編注)　二つの原稿で，どちらも「$m^{2}b(a+b)+)+n^{2}a(a+b)\cdots$」なっているところ，式の対称性から修正

【２】　或正整数$K$にて大小二つの正整数$A\text{，}B\text{（}A>B\text{）}$の差を割りて得る整数商が$K$にて$A\text{，}B$を別々に割りて得る整数商の差に等しければ$A\text{，}B$を$K$にて割りて得る剰余は何れが大なるか．但し$A$と$B$との差は$K$にて割り切れざるものとす．

【３】　毎時$45$粁を進行し得る機関車を以って客車を牽かむとするに其速さは客車の数の平方根に比例して減ずるものとす，然して此機関車を以って客車四両を牽くときは毎時$27$粁を進行し得べしと云ふ，然らば此機関車を以って客車幾両までを運転し得べきか．

【４】　無限級数の和$9-6+4-{\displaystyle \frac{8}{9}}+\cdots$と$5$とを二根とする二次方程式を作れ．

【５】　$\mathrm{▵ABC}$の各頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$より対辺に下す垂線の足を夫々$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とし，$\mathrm{▵ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とすれば$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$は夫々$\mathrm{EF}\text{，}\mathrm{FD}\text{，}\mathrm{DE}$に垂直なることを証せよ．

【６】　$\mathrm{▵ABC}$の辺$\mathrm{AB}$上にありて$\mathrm{AB}$の中点ならざる一点$\mathrm{P}$より辺$\mathrm{BC}$に平行に直線${\mathrm{PP}}_1$を引き辺$\mathrm{AC}$との交点を${\mathrm{P}}_1\text{，}$次に${\mathrm{P}}_1$より辺$\mathrm{AB}$に平行に直線${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$を引き辺$\mathrm{BC}$との交点を${\mathrm{P}}_2\text{，}$次に${\mathrm{P}}_2$より辺$\mathrm{CA}$に平行に直線${\mathrm{P}}_2{\mathrm{P}}_3$を引き辺$\mathrm{AB}$との交点を${\mathrm{P}}_3\text{，}$以下逐て此の如き作図を行ふとき${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}{\mathrm{P}}_3\text{，}{\mathrm{P}}_4\text{，}\cdots$なる点の中始めて$\mathrm{P}$と一致するものあらば之を求めよ．