1932　松山高等学校入学選抜試験

【１】　次の連立方程式を解け．

$x+y=6$

$(x^2+y^2)(x^3+y^3)=1440$

【２】　$a=1+\sqrt{5}\text{，}b=1-\sqrt{5}$なるときは$4{(a^n-b^n)}^2+{(a^{n+1}-b^{n+1})}^2=2\sqrt{5}(a^{2n+1}-b^{2n+1})$なることを証せよ．

【３】　或る同じ距離を甲は$4$分$33$秒にて走り乙は$4$分$40$秒にて走る．然らば$1500$米の競争に於て甲乙同時に決勝点に入らしめんには乙をして出発点より何米前に立たしむべきか．

【４】　$30$と$40$との間に偶数個の等差中項を挿入しその中項の前半の和と後半の和との比を$137:157$に等しからしめよ．

【５】　一つの直線に対し同じ側の二点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$より之に下したる垂線$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BD}$の長さを夫々$a\text{，}b$とし両足$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の距離を$c$とす．今$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$二点を過りこの直線に切する円を画きその切点を$\mathrm{F}$とするとき$\mathrm{CF}$の長さを求めよ．

【６】　$\mathrm{▵ABC}$の一辺$\mathrm{BC}$に平行なる直線をひき$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$と夫々$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$に於て交はらしめ$\mathrm{AE}:\mathrm{BD}$を與へられたる比$m:n$に等しからしめよ．

【７】　半径$R$なる円の互いに垂直なる二つの弦$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CD}$又はその延長の交点を$\mathrm{P}$とし中心$\mathrm{O}$と$\mathrm{P}$との距離を$d$とすれば${\mathrm{PA}}^2+{\mathrm{PB}}^2+{\mathrm{PC}}^2+{\mathrm{PD}}^2=4R^2$及び${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{CD}}^2=8R^2-4d^2$なることを証せよ．

【８】　三角形$\mathrm{ABC}$を裁る任意の直線をひき$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の対辺（必要ならばその延長）と夫々$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}\text{，}\mathrm{Z}$に於て交はらしむるとき三角形$\mathrm{AZY}\text{，}\mathrm{CXY}$の外接円の他の交点の軌跡を求めよ．