1933　第二高等学校入学選抜試験

【１】　${\displaystyle \frac{a}{x+y}}={\displaystyle \frac{b}{x-y}}\text{，}{\displaystyle \frac{a}{x}}+{\displaystyle \frac{b}{y}}=1$なる時${\displaystyle \frac{x-a}{y-b}}+{\displaystyle \frac{y-a}{x+b}}$を$a\text{，}b$の簡単なる式にて表はせ．

【２】　邦貨$100$円が米貨$42{\displaystyle \frac{2}{3}}$弗に換算せらるる時$37$円$50$銭にて買入るる事を得る米国の叢書を購ふのに，邦貨$100$円が米貨$31$弗に換算せらるる時その一部分を購ひ邦貨$100$円が米貨$48{\displaystyle \frac{1}{2}}$弗に換算せらるる時その残部を購ふも購入額合せて$37$円$50$銭なる様にするには，第一回及び第二回の購入額を邦貨にて各何程とすべきか．

【３】　$axy+x+y=-a\text{，}xy+ax+ay=-1$なる時$x\text{，}y$を求めよ．但し$a^2\ne 1$なる場合と$a^2=1$なる場合とをわけて考ふべし．

【４】　円の直径$\mathrm{AB}$の延長上に任意の一点$\mathrm{P}$を取り，$\mathrm{P}$より円へ切線を引き切点を$\mathrm{T}$とし，$\mathrm{\angle APT}$の二等分線と$\mathrm{AT}$との交点を$\mathrm{C}$とすれば$\mathrm{\angle PCT}$の大きさ何程なるか．

【５】　正方形$\mathrm{ABCD}$あり．辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CD}$上に夫々点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を適当に取りて直線$\mathrm{AQ}\text{，}\mathrm{DP}$が直交する様にす．然るときは三角形$\mathrm{PCQ}$の外接円は点$\mathrm{C}$以外の定点を通るや否や．

【３】　四辺形$\mathrm{ABCD}$に於て対角線$\mathrm{AC}$を引き，$\mathrm{\angle ACB}=\mathrm{\angle ACD}=\mathrm{\angle BAD}=45\mathrm{°}$ならば，三角形$\mathrm{ABD}$の外心は対角線$\mathrm{AC}$上にありや．

【４】　直交二直線$\mathrm{OX}\text{，}\mathrm{OY}$あり．$8$糎の長さの線分$\mathrm{AB}$が常に一端$\mathrm{A}$を$\mathrm{OX}$上に，他端$\mathrm{B}$を$\mathrm{OY}$上に置きつつ辷るものとす．線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$と直線$\mathrm{OX}\text{，}\mathrm{OY}$との距離を夫々$y$糎，$x$糎とせば，

(ⅰ)　点$\mathrm{P}$が線分$\mathrm{AB}$の中点なる時$x\text{，}y$の間に如何なる等式関係が成立するか．

(ⅱ)　$\mathrm{AP}=6$糎なる時$x\text{，}y$の間に如何なる等式関係が成立するか．

【５】　実数$a\text{，}b$の間に$2a^2-16\leqq {\displaystyle \frac{8+b^2}{1-b^2}}\leqq a^2+5a-12$なる関係ありとす．然るときは

(ⅰ)　$a=2$ならば$b$の限界如何．

(ⅱ)　$b=\sqrt{{\displaystyle \frac{10}{13}}}$ならば$a$の限界如何．

【６】　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{AB}$が$10$糎にして$\mathrm{\angle BCA}$が$90\mathrm{°}$なりとす．然るときは

(ⅰ)　$\mathrm{\angle ABC}$が$15\mathrm{°}$ならば二辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$の長さ各何程なるか．

(ⅱ)　$\mathrm{\angle ABC}$が$7.5\mathrm{°}$ならば二辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$の長さ各何程なるか．