1933　第六高等学校入学選抜試験

【１】　$(x^2+a^2)(y^2+b^2)$及び$(x^2+a^2)(y^2+b^2)(z^2+c^2)$は孰れも二つの整式の平方の和に変形し得ることを証明せよ．

【２】　両駅を同時に出発したる上り列車と下り列車とが出発後$40$分にして行き違ひ，上り列車は下り列車よりも$18$分早く先方の駅に到著したり．而して下り列車の速さは毎時$32$粁なりしと云ふ．両駅間の距離を求めよ．但し上り列車の速さも一定なりしとす．

【３】　$1,(1,2),(1,2,3),(1,2,3,4),\cdots$の括弧を去りて得られたる級数$1,1,2,1,2,3,1,2,3,4,\cdots$あり．此の級数に於て，$2$は第$3$項に至りて初めて現れ，$3$は第$6$項に至りて初めて現れ居るを見る．然らば如何なる数が第$39060$項に至りて初めて現るるか．

【４】　三角形$\mathrm{ABC}$と其の内に一点$\mathrm{O}$とあり．$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$を引きて角$\mathrm{OAB}\text{，}\mathrm{OBC}\text{，}\mathrm{OCA}$を夫々$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$とするときは${\displaystyle \frac{\beta +2\gamma }{\alpha }}={\displaystyle \frac{\gamma +2\alpha }{\beta }}={\displaystyle \frac{\alpha +2\beta }{\gamma }}$なりと云ふ．依つて$\mathrm{O}$の位置を求めよ．

【５】　直角三角形$\mathrm{ABC}$あり．斜辺$\mathrm{AB}$の任意の点$\mathrm{P}$より辺$\mathrm{AC}$及び$\mathrm{BC}$へ垂線を下し其の足を夫々$\mathrm{M}$及び$\mathrm{N}$とせば，二つの三角形$\mathrm{APM}\text{，}\mathrm{BPN}$の面積の和と矩形$\mathrm{PMCN}$の面積との大小如何．

【６】　一点$\mathrm{P}$より二定点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$に至る距離の比$\mathrm{PA}:\mathrm{PB}$が二定線分の比$m:n$に等しきやうなる$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．