1933　浦和高等学校入学選抜試験

【１】　二根$\alpha \text{，}\beta$が次の二式を満足するが如き二次方程式を作れ．

$\alpha \beta +\alpha +\beta -a=0\text{，}\alpha \beta -a(\alpha +\beta )+1=0$

而して$a$を$-1$に等しからざる実数とするとき此二根が正の実根となるがために$a$の採るべき値の範囲を定めよ．

【２】　$200$より小なる正の奇数にして$6$と互いに素なるものの総和を求めよ．

【３】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$両飛行機は乙地に向け甲地を，$\mathrm{C}$飛行機は甲地に向け乙地を何れも同時に出発せり．$\mathrm{C}$は甲乙両地の中央より，$35$粁乙地の方に寄りたる所と$45$粁甲地の方に寄りたる所とに於て夫々$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$とに行違へり．而して$\mathrm{A}$が乙地に到著したるとき$\mathrm{B}$は尚両地の中央より両地間の距離の${\displaystyle \frac{1}{10}}$丈乙地に寄りたる所にありしと云ふ．甲乙両地間の距離及び各飛行機の速力の比を求めよ．

【４】　$a\text{，}b$が正の実数なるとき

${\displaystyle \frac{a^4-2a^{3}b+3a^2{b}^2+2a{b}^3+5b^4}{a^4-4a^{3}b+9a^2{b}^2-8a{b}^3+5b^4}}\text{，}{\displaystyle \frac{3a^3-5a^{2}b+3a{b}^2-b^3}{3a^3+a^{2}b-a{b}^2+b^3}}$

とは何れが大なるか．

【１】　相交る二円の交点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$の一つ$\mathrm{B}$を通る割線が両円周と交る点を夫々$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とするとき共通弦$\mathrm{AB}$が三角形$\mathrm{ACD}$の$\mathrm{A}$に於ける頂角又は其外角の二等分線となる様に此割線を引くことを求む．

【２】　鋭角三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$及び$\mathrm{C}$を通る三つの直径の他の端を夫々$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$及び$\mathrm{F}$とすれば六辺形$\mathrm{AFBDCE}$の面積は$\mathrm{▵ABC}$の面積の二倍に等しきことを証明せよ．