1933　松山高等学校入学選抜試験

【１】　次の連立方程式を解け．

$\{\begin{array}{l}x+y=a\\ x^2+y^2+z^2=a^2\\ xy=az\end{array}$

【２】　${\displaystyle \frac{x}{l(mb+nc-la)}}={\displaystyle \frac{y}{m(nc+la-mb)}}={\displaystyle \frac{z}{n(la+mb-nc)}}$なるときは${\displaystyle \frac{l}{x(by+cz-ax)}}={\displaystyle \frac{m}{y(cz+ax-by)}}={\displaystyle \frac{n}{z(ax+by-cz)}}$なることを証せよ．

【３】　直角三角形の斜辺及び内切円の半径の大さを夫々$a\text{，}r$にて表すとき他の二辺の長さを根として有する二次方程式を作れ．尚ほかかる三角形は常に存在するか．

【４】　無限等比級数ありその何れの項もそれに続くすべての項の和の三倍に等しく且つ初めの二項の和は$5$なりといふ．この級数を決定せよ．

【５】　三角形$\mathrm{ABC}$に於て底辺$\mathrm{BC}$を$a\text{，}$高さを$h$とす．$\mathrm{M}$を辺$\mathrm{BC}$上の一点とし$\mathrm{M}$より$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$に平行線をひき$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{AB}$との交点を夫々$\mathrm{N}\text{，}\mathrm{P}$とす．${\displaystyle \frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{BC}}}=x$とするとき三角形$\mathrm{MNP}$の面積を$a\text{，}h\text{，}x$にて表せ．尚ほこの三角形の最大なるものを求む．

【６】　平行四辺形$\mathrm{ABCD}$内の一点$\mathrm{P}$を過り二隣辺に平行なる直線にて之を四つの平行四辺形に分つとき

(1)　$\mathrm{P}$が対角線$\mathrm{AC}$上にあるときは$\mathrm{PB}=$$\mathrm{PD}$，

(2)　$\mathrm{P}$が$\mathrm{AC}$上にあらざるときは$\mathrm{▵APC}$は$\mathrm{PB}$と $\mathrm{PD}$との差の半に等し，

(3)　(1)の逆は真なり

【７】　一円周上に三点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$あり今$\mathrm{B}$及び$\mathrm{C}$における切線の交点$\mathrm{P}$より$\mathrm{AB}$に平行に直線$\mathrm{PQR}$（$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$は円周との交はり）が弦$\mathrm{AC}$と$\mathrm{M}$に於て交はるとき$\mathrm{M}$は弦$\mathrm{QR}$の中点なり．

【８】　${\mathrm{AA}}^{\prime }$を直径とする円周上の任意の点$\mathrm{P}$より${\mathrm{AA}}^{\prime }$に垂線$\mathrm{PM}$を下し半径$\mathrm{OP}$上に$\mathrm{PM}$に等しく$\mathrm{OQ}$をとるとき$\mathrm{Q}$点の軌跡如何．