1933　府立高等学校入学選抜試験

【１】　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}}$は方程式$x^4-6x^3+7x^2+6x-2=0$の一根なることを示せ．更にこの方程式の残りのすべての根を求めよ．

【２】　$x={\displaystyle \frac{{(a-b)}^2-{\left({\displaystyle \frac{a^2+b^2}{a+b}}\right)}^2}{b-a+{\displaystyle \frac{a^2}{a+b}}}}\text{，}y=a-3b-{\displaystyle \frac{{(a-b)}^2}{a+b}}$のときは${\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{y}{b}}+4=0$が成立つ．これを証明せよ．

【３】　$x\text{，}y\text{，}z$は等差級数をなし，$x+y\text{，}y+z\text{，}z+x$は等比級数をなすような三整数$x\text{，}y\text{，}z$の内で，その和が$40$と$50$の間にあるものを求めよ．

【４】　梯形の平行する二辺の上にそれぞれ一点をとり，これを結び付ける直線で，この梯形の面積を二等分せしめる．かかる直線はすべて一つの定点を過ぎることを証せよ．

【５】　三定点より一つの直線に至る距離の連比を定比$l:m:n$に等しからしめる．この直線を作図せよ．

【６】　直角三角形の内接円の半径，外接円の半径，直角内にある防接円の半径が連比例するとき，この三角形はどんな性質のものであるか．

【７】　方程式${(ax+1)}^2=a^2(1-x^2)$で$a>1$と仮定する．この方程式は正負の二実根を有し正根は$0$と$1$の間，負根は$-1$と$0$の間に存在する．これを証明せよ．