1934　第三高等学校入学選抜試験

【１】　二つの整数の積は$2940$にして其の最大公約数は$7$なりと云ふ．此の如き二数を求めよ．但し二数は何れも$25$より大なりとす．

【２】　方程式$4x^2+2x\sqrt{3x^2+1}=8$を解け．

【３】　容量$23$キロリットルの水槽に甲乙二個の注水管より水を入るるに甲を$5$時間，乙を$3$時間使用すれば$9.5$キロリットル入り又甲を$7$時間，乙を$3$時間半使用すれば$12.6$キロリットル入ると云ふ．若し最初より甲乙二管を同時に使用すれば幾時間にて満水すべきか．

【４】　等差級数をなす四つの整数あり．其の平方の和は$164$にして第二数と第四数との積は第一数と第三数との積の$2$倍より$3$だけ大なりと云ふ．此の四数を求めよ．

【５】　$a+{\displaystyle \frac{1}{b}}=b+{\displaystyle \frac{1}{c}}=c+{\displaystyle \frac{1}{a}}$なるときは$a=b=c$なるか或は$a^2{b}^2{c}^2=1$なることを証明せよ．

【１】　線分$\mathrm{AB}$を$\mathrm{C}$にて二部分に分ち${\overline{\mathrm{AC}}}^2-{\overline{\mathrm{BC}}}^2$を一定$K^2$ならしめよ．

【２】　平行線${\mathrm{AA}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{BB}}^{\prime }$の距離$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とし$\mathrm{M}$を直角頂とする直角三角形${\mathrm{MA}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$の二頂点${\mathrm{A}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{B}}^{\prime }$が夫々此の平行線の各の上にあるときは斜辺${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }$は一定円に接することを証明せよ．

【３】　単位の長さ$\mathrm{OA}$を半径とする円$O$あり．$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{OB}={\displaystyle \frac{1}{m}}\text{，}\mathrm{OA}$の延長上に$\mathrm{OC}=m$なる点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$をとり円周上の任意の点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{PB}\text{，}\mathrm{PC}$が円周と交る点を夫々$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とするとき弧$\mathrm{EAF}$は$\mathrm{A}$にて二等分せらるることを説明せよ．