1934　第四高等学校入学選抜試験

【１】　次の連立方程式を解け．

$\begin{array}{ll}x+y+z+w=6& x+2y+3z+4w=1\\ x-y+z-w=4& x+2y-3z-4w=23\end{array}$

【２】　係数が悉く有理数なる連立方程式

$a{x}^2+2hxy+b{y}^2=1$

$a^{\prime }{x}^2+2h^{\prime }xy+b^{\prime }{y}^2=1$

に於て其の根がすべて有理数ならば

$\sqrt{{(h-h^{\prime })}^2-(a-a^{\prime })(b-b^{\prime })}$

は有理数なることを証明せよ．

【３】　$1001$より$2000$までの整数の内$7\text{，}9\text{，}11$の少くとも一つにて割り切るるものは総数幾つあるか．

【４】　三角形$\mathrm{ABC}$に於て${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{BC}}^2+{\mathrm{CA}}^2$ならばこの三角形は直角三角形なることを示せ．

【５】　$x^2-2(\sqrt{3}-1)x-5+2(\sqrt{14}-\sqrt{3})=0$を解き其の根の値を小数第三位まで計算せよ．

【６】　円の直径$\mathrm{AB}$の両端に於て平行なる切線$\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{BQ}$を直径の反対の側に作り$\mathrm{AP}=a\text{，}\mathrm{BQ}=b$とす．$\mathrm{PQ}$と円との交点を$\mathrm{R}\text{，}\mathrm{AR}$と$\mathrm{QB}$の延長との交点を$\mathrm{X}$とすれば$\mathrm{BX}$の長さ如何．但し円の直径を$1$とす．

【７】　底辺の長さ$20$糎他の二辺の和が$50$糎なる三角形の中線を最小ならしむるときは其の三角形の面積何平方糎なるか．

【８】　三つの方程式

$\begin{array}{ll}{x}^2+px+q=0& x^2+2px+5=0\\ x^2+7x+3q=0& \end{array}$

が共通根を有するとき，$p\text{，}q$の値如何．