1934　第七高等学校入学選抜試験

【１】　次の式を簡単にせよ．

${\displaystyle \frac{3(x^2+x-2)}{x^2-x-2}}-{\displaystyle \frac{3(x^2-x-2)}{x^2+x-2}}-{\displaystyle \frac{8x}{x^2-4}}+{\displaystyle \frac{4x}{1-x^2}}$

【２】　三角形に於て鋭角の対辺の平方は他の二辺の平方の和より其の一辺と其上に投ずる他の辺の正射影との積の二倍を減じたるものに等しい．これを証明せよ．

【３】　次の方程式の根の近似値を小数第三位まで求めよ（四捨五入）．

$x-\sqrt{2x-1}=5$

【４】　二次式$a{x}^2+bx+1\text{，}{x}^2+ax+b$の値は$x=\alpha$の時及び$x=\beta$の時に相等しい．次の式を証明せよ．

${\alpha }^2+{\beta }^2=1+{\left({\displaystyle \frac{b-1}{a-1}}\right)}^2$

【５】　$\mathrm{A}$を頂点とする二等辺三角形$\mathrm{ABC}$の内切円の半径を$r\text{，}$外接円の半径を$R$とし，内切円が辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$に切する点を$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$とすれば${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{DE}}}={\displaystyle \frac{R}{r}}$なることを証明せよ．

【６】　甲乙丙三人が同所を出発して同じ道路を同じ方向に各等速度にて進行する．乙は甲より二分遅れて出発しそれより六分の後甲に追ひつき，丙は甲より四分遅れて出発しそれより六分の後甲に追ひついた．丙が乙に追ひつく時刻を問ふ．

【７】　$x^2+xy+y^2+2z=4\text{，}x+y+z=2$より次の式を導き出せ．

$yz+zx+xy=0$

【８】　直角三角形$\mathrm{ABC}$の斜辺$\mathrm{BC}$の上に点$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$を$\mathrm{BD}=\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CE}=\mathrm{AC}$なる様にとるときは角$\mathrm{CAD}\text{，}\mathrm{BAE}$は夫々角$\mathrm{ABC}\text{，}\mathrm{ACB}$の半分に等しいことを証明せよ．