1934　山形高等学校入学選抜試験

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{O}$とし，$\mathrm{A}$より$\mathrm{BC}$に下せる垂線の足を$\mathrm{H}$とすれば次の関係あることを証明せよ．但し$\mathrm{AB}$は$\mathrm{AC}$より大なりとす．

$\mathrm{AB}+\mathrm{AC}:2\mathrm{BC}=\mathrm{OH}:\mathrm{AB}-\mathrm{AC}$．

【２】　方程式${\displaystyle \frac{2b}{x+a}}+{\displaystyle \frac{k}{x}}+{\displaystyle \frac{2c}{x-a}}=0$（但し$a\ne 0$）が等根を持つやうに$k$の値を定めよ．又このときの$k$の値を$p\text{，}q$とし，これに対応する$x$の値を夫々$\alpha \text{，}\beta$とすれば次の関係あることを証明せよ．

$pq={(b-c)}^2\text{，}\alpha \beta =a^2$．

【３】　円$O$の外にある一点$\mathrm{P}$より，この円へ二本の切線が引かるることを証明せよ．又このとき二本より多くの切線は引かれざることを証明せよ．

【４】　直角三角形$\mathrm{ABC}$において，斜辺$\mathrm{BC}$上の一点$\mathrm{D}$より$\mathrm{AB}$に垂線$\mathrm{DE}$を下すとき$\mathrm{AB}=20$米，$\mathrm{BC}=29$米，$\mathrm{AE}=2$米なり．線分$\mathrm{BE}$上に一点$\mathrm{F}$をとり，$\mathrm{BF}=4$米として$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{FD}$の交点を$\mathrm{G}$とし，$\mathrm{FG}$の長さを糎まで正しく算出せよ．

【５】　$a+b+c=0$なるとき次式の値如何．

$({\displaystyle \frac{b-c}{a}}+{\displaystyle \frac{c-a}{b}}+{\displaystyle \frac{a-b}{c}})({\displaystyle \frac{a}{b-c}}+{\displaystyle \frac{b}{c-a}}+{\displaystyle \frac{c}{a-b}})$．

【６】　甲乙丙共同して或る仕事を仕上ぐる時間は甲一人にて仕上ぐる時間より一時間少く，乙一人にて仕上ぐる時間の半分に等しく，又丙一人にて仕上ぐる時間より六時間少しと云ふ．三人共同にて仕上ぐる時間を求むるに役立つ方程式を立て，且つこの方程式の立つ理由を詳述せよ．