1934　新潟高等学校入学選抜試験

【１】　${\displaystyle \frac{10+5\sqrt{3}}{4\sqrt{3}+\sqrt{12-6\sqrt{3}}}}$を有理化せよ．

【２】　二つの方程式$x^2-5x+k=0$及び$x^2-9x+3k=0$が，一つの共通根を有するとして，$k$の値を求めよ．

【３】　$100$と$1000$との間に於て，$17$にて割れば$3$を残す数はいくつあるか．又其和を求めよ．

【４】　銅と亜鉛との合金甲乙二塊あり．甲に於ては銅と亜鉛との比は$5:1\text{，}$乙に於ては其比は$25:3$なりといふ．然らば甲乙二塊を如何なる割合にて溶解すれば，其中に含まるる銅と亜鉛との比が$45:7$となるか．

【１】　次の連立方程式を解け．

$x+y=7+\sqrt{x}+\sqrt{y}(x-\sqrt{x})(y-\sqrt{y})=12$

【２】　電車道に沿へる道路あり．此道路を走る自動車内の一乗客が，反対の方向に走る電車に出会ひたる時より互いに相離るる迄に要せし時間は$2$秒にして，又同方向に走る電車に追い付きたる時より追い越す迄に要せし時間は，此間に於て自動車が$3$秒間の急停車をなしたるために，$30$秒なりと云ふ．電車の長さを$18$米として，自動車の速さを求めよ．

【３】　$Y=1+2y+3y^2+\cdots +(n-1)y^{n-2}$なるとき$n{y}^{n-1}-(n-1)y^n+{(1-y)}^{2}Y$の値如何．但し，$n$は$2$より大なる整数なりとす．

【４】　半径$1$米なる極めて薄き円板の周上に三点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}$あり．弧$\mathrm{BA}$及び弧$\mathrm{AC}$の長さは何れも$0.25$米なりとす．又別に一端よりの長さ$4$米毎に黒点を付したる極めて細き針金あり．今此一端を$\mathrm{A}$点に固着して此針金を円板の周に巻きつくる時，第何番目の黒点が最初に弧$\mathrm{BAC}$上に来るか．但し円周率を$3.14$として計算せよ．

【５】　円外の一点$\mathrm{P}$より其円に切線を引き切点を$\mathrm{A}\text{，}$又割線を引き円との交点を$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とし角$\mathrm{APB}$の二等分線と弦$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$との交点を夫々$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$とすれば線分$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{DB}\text{，}\mathrm{AC}$及び$\mathrm{EC}$の間には次の関係式の成立することを証明せよ．

${\displaystyle \frac{\mathrm{DB}}{\mathrm{AB}}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{EC}}{\mathrm{AC}}}=1$

【６】　三角形$\mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$上の一点$\mathrm{P}$より辺$\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{BA}$に夫々平行線を引き辺$\mathrm{BA}\text{，}\mathrm{CA}$との交点を夫々$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$とすれば，平行四辺形$\mathrm{ADPE}$の面積は点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{BC}$の中点なる時最大なることを証明せよ．

【７】　二等辺三角形$\mathrm{ABC}$内の一点$\mathrm{P}$より，底辺に下せる垂線の上の正方形の面積は，他の二辺に下せる垂線の包む矩形の面積に等しと云ふ．点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．