1934　富山高等学校入学選抜試験

【１】　$x^2+x+1=0$の二根を$\alpha \text{，}\beta$とすれば${\alpha }^3+{\alpha }^4={\beta }^3+{\beta }^4$なることを証明せよ．

【２】　次の連立方程式の根が実数なるためには$a$の値の限界如何．

$x+y=2\text{，}{x}^3+y^3=axy$

【３】　所設の正方形$\mathrm{ABCD}$の各辺上に一つづつ頂点を有し，$\mathrm{ABCD}$の${\displaystyle \frac{1}{3}}$の面積を有する矩形を作れ．

【１】　$\sqrt{1+2a}$と$1+a$との差と$\sqrt{1-2a}$と$1-a$との差とは絶対値に於て何れが大なりや．但し$a$は${\displaystyle \frac{1}{2}}$より小なる正数なりとす．

【２】　無限級数あり．其の偶数番目の項はすぐ前の項の$2$倍にして又其の奇数番目の項はすぐ前の項の${\displaystyle \frac{1}{3}}$倍なり．此の級数の和が$1$なるときは其初項如何．

【３】　$a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}=4\text{，}x=a+3a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{2}{3}}\text{，}y=b+3a^{\frac{2}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}$なるとき${(x+y)}^{\frac{2}{3}}+{(x-y)}^{\frac{2}{3}}$の数値を求めよ．但し$a\text{，}b$は実数なり．

【４】　正五角形の五個の対角線を引きて得らるる正五角形の面積ともとの正五角形の面積との比を求めよ．

【５】　定直線$\mathrm{AOB}$上の定点$\mathrm{O}$における其の垂線を$\mathrm{OC}$とす．$\mathrm{P}$は$\mathrm{\angle AOC}$内の定点なり．$\mathrm{P}$を通りて$\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{OC}$に交はる任意の直線を引き其の交点をそれぞれ$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$とし三点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$を通る円に$\mathrm{P}$より二つの切線を引き其の切点を$\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}$とす．二直線$\mathrm{DE}\text{，}\mathrm{FG}$の交点を$\mathrm{H}$とすれば$\mathrm{H}$は或る一定直線上にあり．これを証せよ．