1934　松本高等学校入学選抜試験

【１】　${\displaystyle \frac{a}{b}}>{\displaystyle \frac{c}{d}}$ならば$m\gtrless n$なるに従つて${\displaystyle \frac{ma+nc}{mb+nd}}\gtrless {\displaystyle \frac{na+mc}{nb+md}}$なることを証明せよ．但$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d\text{，}m\text{，}n$は正数とす．

【２】　$\mathrm{PA}\text{，}\mathrm{PB}$を円外の定点$\mathrm{P}$より引ける二本の切線とす．$\mathrm{M}$を円周上の任意の点とし，$\mathrm{P}$を過り$\mathrm{M}$に於ける切線に平行なる直線と$\mathrm{MA}\text{，}\mathrm{MB}$との交点を$\mathrm{N}\text{，}\mathrm{L}$とすれば$\mathrm{NL}$は定長なることを証明せよ．

【３】　$a\text{，}b\text{，}c$は三角形の三辺の長さを表はし，$x$に関する二次方程式$(c^2-mb)x^2+2\sqrt{a^2+b^2}x+1=0$が等根を有するならば$m=0\text{，}m=-a\text{，}m=a$の各の場合に於ける$c$辺に対する角の大さは何度なるか．

【４】　$x\text{，}y\text{，}z$は角其の値を変ずれども其の和は不変なり．若し$(x-y+z)(x+y-z)$が$yz$に正比例すれば$y+z-x$も$yz$に正比例す．これを証明せよ．

【５】　$x={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$なるとき${\displaystyle \frac{1+x}{1+\sqrt{1+x}}}+{\displaystyle \frac{1-x}{1-\sqrt{1-x}}}$を計算せよ．

【６】　三角形$\mathrm{ABC}$の一辺$\mathrm{BC}$上の一点$\mathrm{P}$より$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$に平行に引ける二直線と$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$との囲む平行四辺形の面積が三角形$\mathrm{ABC}$の面積の${\displaystyle \frac{4}{9}}$なり．$\mathrm{P}$点の位置如何．