1934　大阪高等学校入学選抜試験

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$の面積が一定ならば其三中線$\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{BE}\text{，}\mathrm{CF}$を三辺とする三角形の面積も亦一定なることを証せよ．

【２】　凸四辺形$\mathrm{ABCD}$に於て$\mathrm{AB}+\mathrm{CD}=\mathrm{BC}+\mathrm{DA}$なる時此四辺形は円に外切することを証せよ．

【３】　中心$\mathrm{O}$なる円及び之れと交はらざる直線$\mathrm{AB}$あり．直線$\mathrm{AB}$上の定点$\mathrm{A}$に於て$\mathrm{AB}$に切し且つ円$O$の周を二等分する円を作れ．

【４】　$x\text{，}y$は共に正にして$x^2-y^2$が$xy$に比例して変化する時一般に$x-y$は$x+y$に比例して変化することを証せよ．

【５】　${\displaystyle \frac{6}{1+\sqrt{2}-\sqrt{3}}}+{\displaystyle \frac{4}{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}}}-{\displaystyle \frac{2}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}}$を計算して小数第四位まで正しく求めよ．

【６】　二つの方程式$x^2-ax+b=0\text{，}{x}^2-ax+c=0$の各々と方程式$x^2+px-q=0$と夫々只一根を共有する時${\displaystyle \frac{p}{a+p}}={\displaystyle \frac{q}{b+q}}+{\displaystyle \frac{q}{c+q}}$なることを証せよ．但し$b\ne c\text{，}q\ne 0$とす．