1934　姫路高等学校入学選抜試験

【１】　半径$r$なる円に内接する正十辺形の一辺の長さを求め，特に$r=25$なる時の値を小数点下三位まで四捨五入して求めよ．

【２】　梯形$\mathrm{ABCD}$に於て，平行ならざる二辺を$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CD}$とし，$\mathrm{AB}$が$\mathrm{CD}$の半分に等しきものとす．平行なる二辺$\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{BC}$の上に夫々一点$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$をとり，$\mathrm{AE}$を$\mathrm{ED}$の半分，$\mathrm{BF}$を$\mathrm{FC}$の半分に等しからしめ，$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$を結べば$\mathrm{EF}$は$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CD}$と等角をなす事を証明せよ．

【３】　円の直交する二つの弦$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CD}$の両端を夫々$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とするとき$\stackrel{⏜}{\mathrm{AC}}+\stackrel{⏜}{\mathrm{BD}}=\stackrel{⏜}{\mathrm{AD}}+\stackrel{⏜}{\mathrm{BC}}$なる事を証明せよ．

【４】　定円周上の二定点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$あり．此円周上の一点$\mathrm{P}$を求め，角$\mathrm{APB}$の二等分線が弦$\mathrm{AB}$及び円周と出会ふ点を$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とするとき$\mathrm{DC}:\mathrm{DP}=1:3$ならしめよ．

【１】　係数が実数なる$x$に関する四次の整式と五次の整式とあり．其最大公約数は$x^2+x-1$にして，最小公倍数は$3x^7+5x^6-4x^4-6x^3+x+1$なり．二式を求めよ．

【２】　$x^4-(2+a+b)x^3+\{4+2(a+b)+ab\}{x}^2-2(ab+2a+2b)x+4ab=0$の実根を求めよ．但し$a\text{，}b$は実数なりとす．

【３】　${\displaystyle \frac{x^3+4x^2-2x+4}{x^4+x^2+1}}={\displaystyle \frac{Ax+B}{x^2+x+1}}+{\displaystyle \frac{Cx+D}{x^2-x+1}}$が$x$の恒等なる様に常数$A\text{，}B\text{，}C\text{，}D$を定めよ．

【４】　$x^{2n}+{\displaystyle \frac{1}{x^{2n}}}-2a$が$x$の如何なる実数値に対しても常に正なる様に$a$の取り得る範囲を定めよ．但し$n$は正整数なり．