1934　山口高等学校入学選抜試験

【１】　三つの自然数$A\text{，}B\text{，}C$が何れも奇数なるとき$A\text{，}B\text{，}C$の任意の公約数は${\displaystyle \frac{B+C}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{C+A}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{A+B}{2}}$の公約数なることを証せよ．

【２】　六分利付市公債額面$100$円の相場$109.5$円にして五分利付整理公債額面$100$円の相場$102$円なるとき或人若干の市公債を整理公債に売り替へたるが為め一ケ年の利子金の収入$129$円を減じたりと云ふ．然らば此の人の売り払ひたる市公債の額面高は何程なりしか．

【３】　$a^3+b^3+c^3={(a+b+c)}^3$なるときは$b+c\text{，}c+a\text{，}a+b$の中，少くも一つは$0$に等しきことを証し且つ之れによりて

(ⅰ)　$a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}={(a+b+c)}^{2n+1}$

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{1}{a^{2n+1}}}+{\displaystyle \frac{1}{b^{2n+1}}}+{\displaystyle \frac{1}{c^{2n+1}}}={({\displaystyle \frac{1}{a}}+{\displaystyle \frac{1}{b}}+{\displaystyle \frac{1}{c}})}^{2n+1}$

なることを証せよ．但し$n$は正整数とす．

【４】　$150$までの自然数の中より$2$の倍数，$4$の倍数及び$5$の倍数を除きたる残りの数の和を求む．

【５】　正方形$\mathrm{ABCD}$の頂点$\mathrm{A}$と辺$\mathrm{BC}$上の任意の点$\mathrm{P}$とを結び付け$\mathrm{\angle PAD}$の二等分線が辺$\mathrm{CD}$と交る点を$\mathrm{Q}$とすれば$\mathrm{DQ}$は$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BP}$との差に等しと云ふ．其の証を問ふ．

【６】　直線$\mathrm{XY}$外の点$\mathrm{A}$より，之れに垂線を引き其の足を$\mathrm{H}$とし，$\mathrm{HB}$を$\mathrm{AH}$に等しく$\mathrm{XY}$上に$\mathrm{B}$を取り，$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$とす．今$\mathrm{A}$より$\mathrm{XY}$に至る任意の斜線$\mathrm{AC}$を引き其の足を$\mathrm{C}$とし，$\mathrm{M}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を過ぎる円周が$\mathrm{AC}$と交わる点を$\mathrm{D}$とすれば$\mathrm{HD}$は$\mathrm{AC}$に垂直なることを証せよ．