1934　松山高等学校入学選抜試験

【１】　二式$x^2+ax+b$及び$x^2+a^{\prime }x-b$が一次の公約数を有するときは，$4b=a^2-{a^{\prime }}^2$にして，其の公約数は$x+{\displaystyle \frac{1}{2}}(a+a^{\prime })$なることを証明せよ．但し$b\ne 0$とす．

【２】　方程式$(m^2-1)x^2-mx+1=0$が正の二根$\alpha \text{，}\beta$を有し且つ$m\alpha \beta =2\alpha -\beta$なる如く$m$の値を定めよ．

【３】　${\displaystyle \frac{bx+ay}{cy+az}}={\displaystyle \frac{cx+az}{by+ax}}={\displaystyle \frac{z+y}{x+z}}$にして$b+c\ne 0$なるときは，各分数は${\displaystyle \frac{x}{y}}$に等しきことを証明せよ．

【４】　自然数を次の如き区画に分つとき，其の第$n$番目の区画内の数の和を求めよ．

$1,2|3,4,5,6|7,8,9,10,11,12|\cdots$

【５】　一辺$a$なる正方形と一頂点を共有し，之れに内接する正三角形の辺の長さを求めよ．

【６】　四辺形の各対角線の中点を過り，他の対角線に平行なる二直線の交点と各辺の中点とを結べば，之れによりて本形は四等分せらるることを証明せよ．

【７】　與へられたる円の定直径を半径の長さだけ延長し，その一端に於て之れに垂直なる直線をひく．今円周上に一点を求め，その直線及び直径に至る距離の比を定比に等しからしめよ．

【８】　與へられたる円内の定点$\mathrm{A}$を過る弦の両端に於ける切線の交点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．