1935　第七高等学校入学選抜試験

【１】　$a{x}^2+2bx+c=0$が等根$\alpha$を有し，$p{x}^2+2qx+r=0$が等根$\beta$を有するときは，$\alpha \text{，}\beta$は$bq{x}^2+(bR+cq)x+cr=0$の根なることを証明せよ．

【２】　$x^2+ax+b$と$x^2+bx+a$とが一次の最大公約数を有するとき，其の最小公倍数を零に等しと於て得る方程式の根の和は零なることを証明せよ．

【３】　次の連立方程式を解け．

$x+y=8+\sqrt{x}+\sqrt{y}$

$(x-\sqrt{x})(y-\sqrt{y})=12$

【４】　動点$\mathrm{P}$が一つの定直線上に於て次の様な運動をする．先づ点${\mathrm{P}}_0$より$3$米進んで点${\mathrm{P}}_1$に至る，次に${\mathrm{P}}_1$より退いて${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_1$の中点${\mathrm{P}}_2$に至る，次に${\mathrm{P}}_2$より進んで${\mathrm{P}}_1{\mathrm{P}}_2$の中点${\mathrm{P}}_3$に至る，追てこの様な運動を限りなく反復する．$\mathrm{P}$点の終極の位置は${\mathrm{P}}_0$より幾米の距離にあるか．

【５】　正方形$\mathrm{ABCD}$の頂点$\mathrm{C}$を通り辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AD}$の延長と夫々$\mathrm{X}\text{，}\mathrm{Y}$にて交はる任意の直線を引く．$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AX}\text{，}\mathrm{AY}$の長さを夫々$a\text{，}x\text{，}y$とすれば次の関係あることを証明せよ．

$x+y\geqq 4a$

【６】　三角形$\mathrm{ABC}$の外接円の$\mathrm{A}$に於ける切線が直線$\mathrm{BC}$と点$\mathrm{D}$に於て交はり，角$\mathrm{ADB}$の二等分線が辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$と夫々点$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$に於て交はり，又角$\mathrm{BAC}$の二等分線が辺$\mathrm{BC}$と点$\mathrm{G}$に於て交はるときは四辺形$\mathrm{AEGF}$は菱形である．之を証明せよ．

【７】　三角形$\mathrm{ABC}$の外接円周上の一点$\mathrm{M}$より三辺$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$に下せる垂線が再び円周と交はる点を夫々$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$とすれば，$\mathrm{AP}\text{，}\mathrm{BQ}\text{，}\mathrm{CR}$は互いに平行である．之を証明せよ．

【８】　一直線上にあらざる三点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を與ふ．直線$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を求め${\mathrm{AD}}^2=\mathrm{BD}\cdot \mathrm{CD}$ならしめよ．