1935　新潟高等学校入学選抜試験

【１】　半径の長さそれぞれ$a\text{，}b$なる二円$O\text{，}{O}^{\prime }$が$\mathrm{T}$に於て外切す．円$O^{\prime }$の周上に$\mathrm{T}$にあらざる任意の一点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{P}$と$\mathrm{T}$とを結びその延長が円$O$の周と交はる点を$\mathrm{Q}$とす．$\mathrm{Q}$に於て円$O$に切し且つ$\mathrm{P}$を通る円の半径の長さを$a\text{，}b$にて表はせ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$の形外に辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{AC}$をそれぞれ一辺とする正方形$\mathrm{BADE}\text{，}\mathrm{ACFG}$を作り，線分$\mathrm{DG}$の長さを$a\text{，}b\text{，}c$にて表はせ．但し$a\text{，}b\text{，}c$はそれぞれ$\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}\text{，}\mathrm{AB}$の長さとす．

【３】　円$O$の直径$\mathrm{AB}$に垂直なる半径を$\mathrm{OC}$とし，その上に一点$\mathrm{P}$をとり，$\mathrm{OC}$を$\mathrm{C}$の方に延長し，その上に一点$\mathrm{Q}$をとりて

$\mathrm{OP}\cdot \mathrm{OQ}={\mathrm{OC}}^2$

ならしめ，$\mathrm{Q}$と$\mathrm{A}$とを結び円周と交はる点を$\mathrm{D}$とすれば，三点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}\text{，}\mathrm{D}$は一直線上にあることを証明せよ．

【４】

$\begin{array}{ll}{x}^2+px+q=0& \text{(1)}\\ x^2+(p+2)x+(p+q)=0& \text{(2)}\end{array}$

方程式(1)が実根を有するときは方程式(2)も亦実根を有することを証し，且つ方程式(1)の小なる方の根は方程式(2)の二根の間にあることを証せよ．

【５】　次の連立方程式を解け．

$xy-{\displaystyle \frac{x}{y}}=2$

$xy-{\displaystyle \frac{y}{x}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

【６】　$m\text{，}h\text{，}k$を常数とする次の関係式あり．

$\begin{array}{ll}x{y}^{m-1}=h& \text{(1)}\\ x^{-m}{z}^{m-1}=k& \text{(2)}\end{array}$

$x=a\text{，}y=b$とおけば(1)は成立し，$x=a\text{，}z=c$とおけば(2)は成立す．今$y={\displaystyle \frac{b}{10}}$なるときの$x$の値を$x_1$とし，$z=10c$なるときの$x$の値を$x_2$とすれば，$x_1$と$x_2$とは何れが大なりや．但し文字は総て正数を表はすものとす．

【７】　此処に級数ありて第$n$項までの和を求むれば$a{n}^2+bn$なりといふ．此の級数の奇数番目の項のみをとりて作れる級数に於てその第$p$項までの和を求めよ．

【８】　二秒毎に警笛を鳴らす自動車が毎秒$v$米の速度にて遠ざかるとき，静止せる人は此の警笛を一分間に何回の割合にて聞くか．又此の自動車が停止し，人が他の自動車に乗りて毎秒$v$米の速度にて遠ざかるとき聞く警笛の数は一分間に何回の割合なりや．但し音の速度は毎秒$V$米とす．