1935　大阪高等学校入学選抜試験

【１】　四辺形$\mathrm{ABCD}$の二辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{CD}$の各中点$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$を結ぶ直線が対角線$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{BD}$の交点$\mathrm{O}$を通る時は此四辺形は梯形なることを証せよ．

【２】　$x^2+2xy+3y^2=4$を満足する実数$x$及び$y$は各々一定の範囲内の数なることを示せ．

【３】　多くの円が一列となり相隣る二円は互いに外切し且つ総ての円に共通なる一雙の切線を有する時は之れ等の円の半径は等比級数をなすことを証せよ．

【４】　連立方程式

${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{z}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{y}}+{\displaystyle \frac{1}{z}}={\displaystyle \frac{x}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{1}{z}}+{\displaystyle \frac{1}{x}}={\displaystyle \frac{y}{4}}$

を解け．

【５】　与へられたる角$\mathrm{BAC}$内の与へられたる一点$\mathrm{P}$を通りて直線を引き角の二辺との交点を夫々$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$とするとき矩形$\mathrm{BP}.\mathrm{PC}$を与へられたる正方形と等積ならしめよ．

【６】　${\log }_{10}2=0.3010$として${\log }_{2}5$を小数点下第四位まで計算せよ．但し第四位未満は四捨五入すべし．