1935　高知高等学校入学選抜試験

【１】　方程式$x^2-4x+2=0$の二根を$\alpha \text{，}\beta$とし，且つ$\alpha >\beta$とすれば方程式$2x^4-20x^2+1=0$の根は$\pm (\sqrt{{\displaystyle \frac{\alpha }{2}}}-\sqrt{2\beta })$及び$\pm (\sqrt{{\displaystyle \frac{\beta }{2}}}+\sqrt{2\alpha })$なることを証明せよ．

【２】　二つの正の整数あり．此二数の逆数の和は${\displaystyle \frac{1}{5}}$に等しといふ．此二数を求めよ．

【３】　二つの変数あり．一つは$x$に正比例し，他の一つは$x$に反比例す．而して$y$はこの二変数の和に正比例するものとす．今$x=2$なるとき$y=3\text{，}x=3$なるとき$y=5$ならば$x$と$y$との関係を表はす式を求めよ．

【４】　直角三角形$\mathrm{ABC}$の斜辺$\mathrm{BC}$の中点$\mathrm{M}$より$\mathrm{BC}$に引ける垂線と$\mathrm{\angle A}$の外角の二等分線との交点を$\mathrm{N}$とすれば$\mathrm{AM}=\mathrm{NM}$なることを証明せよ．

【５】　中心$\mathrm{O}$なる一つの定円あり．この円は定点$\mathrm{A}$及び$\mathrm{B}$よりの距離の比が一定なる点の軌跡なりといふ．然るときは円$O$の半径は$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{OB}$の比例中項なることを証明せよ．

【６】　与へられたる円周上の一定点を中心として一つの円を描き，両円の共通切線を引くとき，その二切点の間の長さを与へられたる長さに等からしめよ．