1939　東京帝国大学　工学部MathJax

【１】　$D_n=\left|\begin{array}{cccccc}1& x& x^2& x^3& \cdots & x^n\\ x^n& 1& x& x^2& \cdots & x^{n-1}\\ x^{n-1}& x^n& 1& x& \cdots & x^{n-2}\\ \multicolumn{6}{c}{\mathrm{\cdots \cdots \cdots \cdots }\mathrm{\cdots \cdots \cdots \cdots }\mathrm{\cdots \cdots \cdots \cdots }\mathrm{\cdots \cdots }}\\ x& x^2& x^3& x^4& \cdots & 1\end{array}\right|$

なるとき，級数

$S={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{x}^n{D}_n$

は$0\leqq x\leqq 1$なる$x$に対し収斂することを証明せよ．

【２】　直交軸$xy$に関し，次の方程式

$x=a\sin \theta \text{，}y=a{e}^{-p}\sin (\theta +p)$

は如何なる図形を表すか．但し$a\text{，}p$は正の常数，$\theta$は媒介変数とする．又その図形の囲む面積は$p$の値により如何に変化するか．

【３】　次の積分を求めよ．

${\displaystyle {\int }_{-a}^a}\sqrt{1-{\displaystyle \frac{{\cos }^{2}a}{{\cos }^{2}x}}}dx(0<a<{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$