1947　京都大学　工学部

【１】　次の無限級数の収斂性を論ぜよ．

$\log {\displaystyle \frac{1}{2}}+\log {\displaystyle \frac{3}{2}}+\log {\displaystyle \frac{3}{4}}+\log {\displaystyle \frac{5}{4}}+\mathrm{tog}{\displaystyle \frac{5}{6}}+\log {\displaystyle \frac{7}{6}}+\cdots$

【２】　兩主軸の長さ夫々$2A\text{，}$$2B$$\text{（}A\geqq B>0\text{）}$なる楕円の全周の長さを$L$とすれば

$2\pi B\leqq L\leqq 2\pi A(1-{\displaystyle \frac{K^2}{4}})$

になることを証明せよ．但し$K^2=1-{\displaystyle \frac{B^2}{A^2}}$とする

【３】　與へられた球に外接する直円錐の体積を最小ならしめるためには直円錐の高さを球の直径の何倍にすればよいか，又この最小の体積は球の体積の何倍となるか．

【４】　楕円上の任意の一点に於ける切線はこの点と二焦點を結ぶ二つの線分と等角をなすことを証明せよ．

【５】　次の積分を計算せよ．

${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{x+1}{(x-1){(x^2+1)}^2}}\mathit{dx}$