1948　第一高等学校入学選抜試験

【１】　一点から山の頂に至る水平距離は$1500$米$\pm 1$米で仰角はちょうど$30\mathrm{°}$である．此の山の高さを計算するのにその誤差を$1$米以内にとどめたい．$\tan 30\mathrm{°}$の近似値を求めよ．

【２】　正方形の内部又は周上の一点から各頂点までの距離の二乗の和を最大及び最小にする位置を求めよ．

【３】　扇形$\mathrm{OA}{\mathrm{B}}^{\prime }$の弧$\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\prime }$の中点を$\mathrm{M}$とし$\mathrm{OM}$に平行で且つそれと一致しない直線$l$が弧$\mathrm{A}{\mathrm{B}}^{\prime }$と交わる点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{OP}$に関して$l$に対称な直線$l^{\prime }$が直線$\mathrm{OM}$と交わる点$\mathrm{F}$はどういう範囲にあるか．但し扇形の角$\mathrm{AO}{\mathrm{B}}^{\prime }$の大きさ$2\theta$は二直角より小さいものとする．

【１】　$x$の二次式があつて$x=2$のとき最大値を$1$とり，その図表を画くとき$x$軸から長さ$2$の線分を切り取る．この二次式を決定せよ．

【２】　一辺の長さが$a$である正六角形の各頂点から中心を通る任意の直線に下した垂線の長さの二乗の和を算出せよ．

【３】　方程式$\log x=ax$が実根をもつような$a$の値の範囲を求めよ．但し対数は自然対数とする．