1948　第五高等学校入学選抜試験

【１】　$a\text{，}$$b\text{，}$$x\text{，}$$y$が正数であるとき

${\log }_a(x+y)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$

ならば

${\log }_b(x+y)={\log }_{b}x+{\log }_{b}y$

であるというがこれは真か．

　真ならば理由を述べよ．又偽ならば例を挙げて説明せよ．

【２】　一平面上に三つの半直線$\mathrm{OX}\text{，}$$\mathrm{OY}\text{，}$$\mathrm{OZ}$がある．$\mathrm{\angle XOY}=45\mathrm{°}\text{，}$$\mathrm{\angle YOZ}=60\mathrm{°}$であるとき任意の直線が$\mathrm{OX}\text{，}$$\mathrm{OY}\text{，}$$\mathrm{OZ}$と交わる点を夫々$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}$とし，$\mathrm{OA}=a\text{，}$$\mathrm{OB}=b\text{，}$$\mathrm{OC}=c$とすれば$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の間にどんな関係があるか．

【３】　$1$から$2000$迄の整数を書き表わすとき，少くとも$5$を一つ含む整数はいくつあるか．

【４】

$y={\displaystyle \frac{-ax}{(a+\sqrt{a^2-x^2})\sqrt{a^2-x^2}}}$$-{\displaystyle \frac{a}{x}}$$+{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}}$

であるとき$1+{\displaystyle \frac{1}{y^2}}$を出来るだけ簡単にせよ．

【５】　直角三角形$\mathrm{ABC}$で斜辺を$\mathrm{AB}$とする．$\mathrm{BC}=a\text{，}$$\mathrm{AC}=b$とするとき$\mathrm{AB}$を軸として直角三角形$\mathrm{ABC}$を回転して生ずる立体の体積を求めよ．