1948　第七高等学校入学選抜試験

【１】　分数式${\displaystyle \frac{x^3-x^2-6x+9}{x^2-3x+2}}$を$ax+b+{\displaystyle \frac{c}{x-1}}+{\displaystyle \frac{d}{x-2}}$の形に書き改めるには$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d$はどうとればよいですか．

【２】(イ)　次の各々について正しいか否かを答えなさい．そして正しくない場合には，実例を示すか又は正しいものを書くかして間違つて居る事を明にして置きなさい．

(ⅰ)　$m(a+b)=ma+mb$答:

(ⅱ)　$a^x\times a^y=a^{xy}$答:

(ⅲ)　$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}$答:

(ⅳ)　$\log x+\log y=\log (x+y)$答:

【２】(ロ)　二つの曲線$y=\sqrt{x}$及び$x=\sqrt{y}$を同一座標軸を用いて書き両者で囲む面積を求めなさい．

【３】　一般項（第$n$項）が${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^n\tan ({\displaystyle \frac{n\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{\pi }{4}})$で表はされる無限数列の初めの$m$項の和を求めなさい．又この結果を用いて此の無限数列の和があるかどうかを調べなさい．

【４】　三角形の三辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}$上に点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$を次の様にとるとき，三角形$\mathrm{PQR}$と三角形$\mathrm{ABC}$との面積の比を求めなさい．

${\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RA}}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$