1948　新潟高等学校入学選抜試験

【１】　一辺の長さが$a$センチメートルの正六角形に糸を巻きつけておき，糸の端の点$\mathrm{P}$が正六角形の一つの頂点$\mathrm{A}$に重なつている．今$\mathrm{P}$を糸がたるまないように，ひつぱりながらほぐして行くとき，はじめ$\mathrm{P}$に重なつていた糸の点が$\mathrm{A}$から離れるまでに$\mathrm{P}$の描く曲線の長さはどれだけになるか．

【２】　$y=x^3-3x^2-9x+k$で表わされる曲線で，極大値が正の値，極小値が負の値になるようにするには，$k$のとる値はどんな範囲にあればよいか．

【３】　$y=f(x)$で表わされた曲線上の任意の点$(x,y)$に於いて，この曲線の法線$\mathrm{PN}$を作り，$y$軸との交点を$\mathrm{N}$とし，$\mathrm{P}$から$y$軸に垂線$\mathrm{PM}$を下し，その足を$\mathrm{M}$とするとき，線分$\mathrm{MN}$はいつでも一定の長さ$k$に等しいという．今この曲線が原点を通るものとすれば，$f(x)$はどんな式で表わされるか．

【１】　辺の数がそれぞれ$p\text{，}$$q\text{，}$$r\text{，}$$s\text{，}$なる四個の正多角形が平面上で一点のまわりに，重なりもせず隙間もなく，集つているときには，

${\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{q}}+{\displaystyle \frac{1}{r}}+{\displaystyle \frac{1}{s}}=1$

であることを証明せよ．

【２】　半径$a$センチメートルの円柱が鉛直に立つていて，その側面の一点$\mathrm{A}$と，$\mathrm{A}$の真上$b$センチメートルの点$\mathrm{B}$とに釘が打つてある．今糸の端を$\mathrm{A}$に結び，円柱を二回まわつて他の端を$\mathrm{B}$に結ぶとき，糸の最小の長さを求めよ．