1948　大阪高等学校入学選抜試験

【１】　次の論述の正否を判定し，正しいと思ふ場合には「正」の字に，誤つていると思ふ場合には「否」の字に○印をつけよ．なほ「否」のときは，その誤りであることを示す簡単な例を一つあげよ．例は図で与へてもよい．例をあげないでその理由を簡単に説明してもよい．「正」のときは証明も何もいらない．

(例)　四辺が相等しい四辺形は正方形である．

$◊$　正　$\overline{)\text{否}}$

(答へ方の説明)　四辺が皆等しくても角は色々違つた値がとれるから，必ずしもそれが正方形だと断定することは出来ない．故にこの論述は誤りであるから「否」に○印をつける．そして上の論述の成立たない場合の例として一つの菱形をえがいておけばよい．

(1)　$a\text{．}$$b$が共に無理数ならば，$a+b$もまた無理数である．　正　否

(2)　$a\text{，}$$b$を二つの実数とすると

$|a-b|\geqq \left|a\right|-\left|b\right|$　正　否

(3)

$\sqrt{1-\sin 2x}$

$=\sqrt{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x-2\sin x\cos x}$

$=\sqrt{{(\sin x-\cos x)}^2}=\sin x-\cos x$　正　否

(4)　一点$\mathrm{O}$が$\mathrm{▵ABC}$の内部にあるときは$\text{角}\mathrm{BOC}>\text{角}\mathrm{BAC}$であるから，

(Ⅰ)　$\text{角}\mathrm{BOC}<\text{角}\mathrm{BAC}$ならば点$\mathrm{O}$は$\mathrm{▵ABC}$の内部にはない．　正　否

(Ⅱ)　点$\mathrm{O}$が$\mathrm{▵ABC}$の外部にあれば$\text{角}\mathrm{BOC}<\text{角}\mathrm{BAC}$である．　正　否

(5)　$x\to 0$のとき$f(x)\to +\infty \text{，}$$g(x)\to +\infty$ならば，${\displaystyle \frac{+\infty }{+\infty }}$は不定であるから，$\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$は存在しない．　正　否

(6)　$a\leqq x\leqq b$の範囲で，$f^{\prime }(x)>g^{\prime }(x)$ならば，$f(x)$の勾配は$g(x)$の勾配より大であるから，$f(x)>g(x)$である．　正　否

(7)　$a\leqq x\leqq b$の範囲で$f(x)>g(x)$ならば${\displaystyle {\int }_a^b}f(x)\mathit{dx}>{\displaystyle {\int }_a^b}g(x)\mathit{dx}$である．

　正　否

(8)　$f(x)$がある周期をもつとき，(Ⅰ)　その導函数も　(Ⅱ)　原始函数も矢張り同じ周期をもつている．　(Ⅰ)　正　否　(Ⅱ)　正　否

【２】　一定高度を保ちつつ速度$150\mathrm{m}/\text{秒}$で飛行する飛行機上から質量$1\mathrm{kg}$の鉄の球を静かに放したところ，球は地面に$45\mathrm{°}$の角度で到着した．

(1)　球を放してから地面に着くまでの時間

(2)　飛行機の高度

(3)　地面についたときの球の運動のエネルギー

を求めよ．但し$g=980\mathrm{cm}/{\text{秒}}^2$とし，空気の抵抗はないものとする．

【３】　曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}$上の点$(a,b)$に於ける接線の方程式を求め，これによつて接線と両座標軸とで出来る三角形の面積は一定であることを証明せよ．

【２】　三個の正多角形が一点のまわりに重なりもせず，すき間もなく並んでいるとき，その正多角形の辺数を$p\text{，}$$q\text{，}$$r$$\text{（}p\leqq q\leqq r\text{）}$とすると，次の関係があることを証明せよ．

${\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{q}}+{\displaystyle \frac{1}{r}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}$$p\leqq 6$

又$p=3\text{，}$$5$の二つの場合について$q\text{，}$$r$の値を求めよ．

【３】　与へられた函数$f(x)$の$x=x_0$の附近の函数値を$g(x)={\displaystyle \frac{ax+b}{x+c}}$なる形の分数式で近似させることが出来るが，それには

$f(x_0)=g(x_0)\text{，}$$f^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(x_0)\text{，}$$f^{″}(x_0)=g^{″}(x_0)$

となる様に$g(x)$を定めればよい．今$f(x)=\sin x\text{，}$$x_0={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$として，$g(x)$を決定せよ．〔注　$f^{″}(x)$は$f^{\prime }(x)$をもう一度微分したものである．〕