1948　松江高等学校入学選抜試験

【１】　$l\text{，}$$m\text{，}$$l^{\prime }\text{，}$$m^{\prime }$が何れも実数であつて$l^2+m^2=1\text{，}$${l^{\prime }}^2+{m^{\prime }}^2=1$であるならば$l{l}^{\prime }+m{m}^{\prime }$の数値は$1$より大きくないことを証明せよ．

【２】　一辺の長さ$a$なる正六角形の各頂点を中心とし半径$a$なる円の弧を六角形内に画いたときに出来る図形に於て曲線のみで固まれた部分の面積の総和を計算せよ．

【３】　四つの辺の長さの和が一定であるような平行四辺形のうちでは，それが正方形である場合が他の場合よりも面積が大であることを証明せよ．

【４】　$n$を限りなく大きくするとき次の式の値は如何なる値に近づくか．

${\displaystyle \frac{1}{n}}\{1^2+{(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^2+{(1+{\displaystyle \frac{2}{n}})}^2+\cdots$$+{(1+{\displaystyle \frac{n-1}{n}})}^2\}$

【５】　$p\text{，}$$q$の数値（ともに正とする）が知られているときに${\displaystyle \frac{1}{p^2}}+{\displaystyle \frac{1}{q^2}}={\displaystyle \frac{1}{r^2}}$であるような$r$の数値を容易に知り得る計算図表を考案し，その原理及び使用法を明にせよ．