1948　高知高等学校入学選抜試験

【１】　甲，乙，丙三つの容器に夫々$5\mathrm{\%}\text{，}$$12\mathrm{\%}\text{，}$$20\mathrm{\%}$の食塩水がはいつている．甲と乙とを混合すれば$10\mathrm{\%}$の食塩水となり，又乙と丙とを混合すれば$18\mathrm{\%}$の食塩水となる．甲，乙，丙全部を混合すれば，何パーセントの食塩水となるか．小数第一位まで求め以下切捨てよ．

【２】　一辺の長さ$a$なる正方形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{BC}$上に一点$\mathrm{E}$をとり$\mathrm{BE}={\displaystyle \frac{a}{3}}$とする．$\mathrm{A}$のまわりに，辺$\mathrm{AB}$が直線$\mathrm{AE}$上に重るまで正方形$\mathrm{ABCD}$を回転し，頂点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$が夫々${\mathrm{B}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{C}}^{\prime }\text{，}$${\mathrm{D}}^{\prime }$の位置に来たものとする．$\mathrm{CD}$と${\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$との交点を$\mathrm{F}$とするとき，$\mathrm{DF}$の長さを求めよ．

【３】　線分$\mathrm{AB}$を直径とする半円と二点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で交る直線に$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$より下した垂線の足を夫々$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$とし，$\mathrm{AC}=p\text{，}$$\mathrm{CD}=q\text{，}$$\mathrm{DB}=r$とする．

(1)　$\tan \mathrm{\angle CAP}=x$と置き$r$を$p\text{，}$$q$及び$x$で表せ．

(2)　$p=1$なるとき，線分$\mathrm{CP}$の長さは二次方程式$x^2-qx+r=0$の一根の数値に等しいことを証せよ．

【４】　0， 1， 1， 2， 2， 2， 3 の七個の数字から作られる七桁の数は幾通りあるか．