1948　佐賀高等学校入学選抜試験

【１】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$二校からは各々$2$組宛（夫々${\mathrm{A}}_1\text{，}$${\mathrm{A}}_2\text{，}$${\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_2$とする），$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}$二校からは各々$1$組宛が出場して右図のようなトーナメント式試合を行うのに，同じ学校の組は優勝戦までは試合をすることがなく，$1$組しか出場していない学校は一回戦では不戦勝になるようにするには，どのような組合せ方があるか．凡ての場合を図示せよ．

【２】　或る物体の運動状態を図のように$x‐y$座標で表わした．但し横軸$\text{（}x$軸），縦軸$\text{（}y$軸）の$1\mathrm{cm}$は夫々$2\sec \text{，}$$7\mathrm{m}$を表わすものとする．今曲線上の一点$\mathrm{P}$に於て接線を引いた所横軸と$15\mathrm{°}$の角をなした．この点に於ける速度を$\mathrm{m}/\sec$で表わせ．

【１】(a)　半径$5\mathrm{cm}$の定円$\mathrm{O}$に内接し，中心$\mathrm{O}$から$3\mathrm{cm}$の距離にある定点$\mathrm{A}$を通る円の中心の軌跡を求めよ．

(b)　この軌跡が囲む面積を計算せよ．

【２】　母線の長さ$a\mathrm{cm}\text{，}$底面の半径$y\mathrm{cm}$の直円錐がある．今一母線上の二定点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を通つて図のように糸をまきつけ，両端を引張るとき，糸が円錐からはずれないための条件を求めよ．但し糸と円錐の表面との間には摩擦はないものとする．

【３】　二等辺三角形の三つの角を$x\text{，}$$x\text{，}$$y$とする時，$(2+\cos y)\cos x$の極大或は極小を求めよ．但し$x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{，}$$y\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\text{．}$

【４】　和$m$が一定な三個の正整数の積の最大値を$f(m)$で表わせば，${\displaystyle \frac{f(m+1)}{f(m)}}=1+{\displaystyle \frac{1}{n}}$であることを証明せよ．ここに$n$は分数${\displaystyle \frac{m}{3}}$の整数部分であるとする．