1948　成城高等学校入学選抜試験

【１】　$a\text{，}$$b$が共に正数であるとき，

(1)　その等差中項$A={\displaystyle \frac{a+b}{2}}$と調和中項$H={\left({\displaystyle \frac{a^{-1}+b^{-1}}{2}}\right)}^{-1}$との大小を比べよ．

(2)　特に${\displaystyle \frac{1}{4}}A\leqq H\leqq {\displaystyle \frac{1}{3}}A$なるためには，$a\text{，}$$b$の比はどんな範囲にあるべきか．

【２】　$\mathrm{▵ABC}$において，二辺$b\text{，}$$c$の長さはそれぞれ一定で，$\mathrm{\angle B}\text{，}$$\mathrm{\angle C}$は共に鋭角であるとき，他の一辺$a$の長さはどんな範囲にあるか．但し$b<c$とする．

【１】　定長$l\mathrm{cm}$の針金を切り曲げて図のような形の骨組$\mathrm{OABCD}$を作り，その中の$\mathrm{ABCD}$のような扇形の部分だけに金網を張って，その網の面積を最大にしようとする．

(1)　角$\mathrm{BOC}$の大きさをどうしたとき，最大面積どれだけの値を得るか．

(2)　その場合の角の値はおよそ何度何分に当るか．またそのために$\pi =3.14159$を用いて計算した数字は分の小数第何位まで正しいか．

　但し上の図において二つの曲線部分$\mathrm{AD}\text{，}$$\mathrm{BC}$は共に$\mathrm{O}$を中心とする円弧で，内円弧の半径は外円弧半径の半分とする．

【２】　三辺の長さが等差数列（等差級数ともいう）をなす三角形がある．その平均値が$8\mathrm{cm}$で，三角形の面積が$24{\mathrm{cm}}^2$であるとき，各辺の長さを求めよ．

【３】　$75$から$110$までの整数のうち，$5$倍して$7$で割ったときの剰余が$3$であるような数を列挙せよ（考えの筋道をも述べること）．更にその中に素数があれば指摘せよ．それはどうしてわかるか．