1948　浪速高等学校入学選抜試験

【１】　$a\mathrm{\%}$の食塩水と$b\mathrm{\%}$の食塩水とを$m:n$の割合にまぜてできる食塩水の濃度を$c\mathrm{\%}$とすると，$c$はどんな式で表わされるか．次に$m:n=2:3$として$a\text{，}$$b\text{，}$$c$の間の共線図表を作れ．

【２】　半径が$a$である円周上の一点$\mathrm{P}$に於て直角を夾む二つの弦$\mathrm{PA}\text{，}$$\mathrm{PB}$が夾む角の大いさを変えずに，$\mathrm{P}$のまわりに回転するとき，角$\mathrm{APB}$内に含まれる図の部分の面積の変化を調べよ．

【１】　右の図は直円柱を底の直径を通る平面で切ったところを示したものである．半径は$1$で平面の傾きは${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$である．曲面$\mathrm{ACDB}$の部分の面積を知るために，展開図によることにした．

(1)　展開図で曲線$\mathrm{ACD}$はどんな式で表わされるか．

(2)　面積は何程か．

【２】　二つの方程式

${\displaystyle \frac{1}{2}}x+y=5\text{，}$$y=\sqrt{25-x^2}$

のグラフを書け．これを用いて不等式

$5-{\displaystyle \frac{1}{2}}x>\sqrt{25-x^2}$

を解け．

【３】　$\mathrm{▵ABC}$の三辺，内接円の半径，外接円の半径の長さを夫々$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$r\text{，}$$R$とし，面積を$S$とすれば，次の等式が成立つ．これを証明せよ．

(1)　$S=2R^2\sin A\sin B\sin C$

(2)　${\displaystyle \frac{1}{bc}}+{\displaystyle \frac{1}{ca}}+{\displaystyle \frac{1}{ab}}={\displaystyle \frac{1}{2rR}}$

【４】　曲線$y=(x-1){(x-2)}^2$について

(1)　点$(0,-4)$に於ける接線の方程式

(2)　接線の勾配が$5$であるとき，その接点の座標

(3)　曲線の略図を書き，この曲線と$x$軸とで囲まれる部分の面積を求めよ．