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1952-10541-0101
1952 京都大学 全学部
一般数学
配点50点
易□ 並□ 難□
【1】 ある定数について
e=1+ 1+ 12! + 13! +⋯ +1 10! + A11! , 1<A< 3
であることが知られている.ここに n !=1× 2×3× ⋯×n である.この式によつて, e の値は小数点以下何桁まで正しく求められるかを考え,その桁までの数値を求めよ.
1952-10541-0102
【2】 一辺の長さが a の正方形 ABCD の頂点 A , B , C を中心として a を半径とする円を 3 つ書く.円 A , B , C の内部をそれぞれ赤,青,黄に塗ると,紫,緑,橙(だいだい)となる部分の面積の和はいかほどであるか.
1952-10541-0103
解析Ⅰ
【1】 x についての 2 次方程式 ( a-x) ⁢(b -x) -c2 =0 に於て, a , b , c は実数であるとする. c が定数 ( ≠0 ) であると,この方程式が少なくとも 1 つの正根をもつためには, (a ,b ) を座標とする点は,どのような範囲になければならぬか.それを図で示せ.
1952-10541-0104
【2】 長さが a⁢ cm のまっすぐな針金 AB を, A から x⁢ cm の点 C で直角におりまげる.次に CB 上の適当な点 D で再びおりまげて B と A とを重ねる.このようにしてできた直角三角形の D における内角が 45 ⁢° よりも大きくなるためには, x はどのような範囲にあるべきか.
1952-10541-0105
解析Ⅱ
【1】 一つの直線上を 2 つの点 A , B が同じ方向に動いている.時刻が t のときに点 A はこの直線上の定点から ( t5+ 8⁢t )⁢ cm のところにあり,点 B は ( 4⁢t 3+17 )⁢ cm のところにある.この 2 点 A , B は時刻が t =2 から 0.0035 経つ間に,その間隔は,およそ,どれほど増減するか.
1952-10541-0106
【2】 底面の直径が 2 ⁢a⁢ cm , 高さが h ⁢cm の直円錐に内接する直円柱の体積は,その高さの変化に応じて,どのように変化するか,その模様を図で示せ.
1952-10541-0107
幾何
【1】 三角形 ABC が与えられている.この三角形のどの辺にも平行でない直線を l とする.頂点 A , B , C を通つて l に平行な直線を引き,これが BC , CA , AB 又はそれの延長と交わる点をそれぞれ D , E , F とすれば,三角形 DEF の面積が一定であることを証明せよ.
1952-10541-0108
【2】 点 C を中心とする円 K の外部に点 P を取り CP を直径とする円を書く.これと K との共通弦が CP と交わる点を R とする. K の直径で CP と直交するものを NS とし, NP と K との交点を Q とすると, Q , R , S が同一直線上にあることを示せ.