1953　京都大学　全学部

【１】　$20\mathrm{km}$離れた甲乙両地間を$1$台のバスが$40\mathrm{km}$の速さで往復している．このバスは甲地を午前$6$時に始発し，それから後は甲，乙いずれにおいても$15$分ずつ休憩し，途中では止らないものとする．午前$7$時に甲地を出発して毎時$4\mathrm{km}$の速さで乙地に向って歩いている人が乙地に到着するまでにバスに何回出会うか，また何回追い越されるか．

【２】　三辺の長さが$30\mathrm{cm}\text{，}$$30\mathrm{cm}\text{，}$$20\mathrm{cm}$の三角形の紙がある．辺の中点を結ぶ三線分に沿うてこれを折り四面体を作るとき，その体積はいくらになるか．

【１】　次の式を簡単にせよ．

${\displaystyle \frac{1}{(a-b)(a-c)(a+1)}}$$+{\displaystyle \frac{1}{(b-c)(b-a)(b+1)}}$$+{\displaystyle \frac{1}{(c-a)(c-b)(c+1)}}$

【２】　二次函数$x^2+px+p^2$が，$0\leqq x\leqq 1$のとき，常に$1$と$3$との間の値をとるために$p$のとるべき実数値の範囲を求めよ．

【１】　$y=x^3-3x^2+5$のグラフを$C$とし，$y$が極大となる点における$C$の接線を$L$とする．$C$と$L$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

【２】　水平な地面に垂直に柱が立つている．まず柱の下端から$100\mathrm{m}$離れた地面上の点から柱の上端を望む仰角を測定したところ$15\mathrm{°}$であつた．この測定値を用いて柱の高さを求めよ．（有効数字$3$桁目まで算出せよ．）

　次に柱の高さを直接巻尺で測った結果上記の計算値よりも$0.1\mathrm{m}$長いことを見出した．仰角の測定に何度の誤りがあつたか（有効数字$1$桁目を算出せよ．）ただし距離および長さの測定に誤りがなく，地面は完全に水平であったとする．

$\sqrt{2}=1.414\text{，}$$\sqrt{3}=1.782\text{，}$$\sqrt{5}=2.236\text{，}$$\sqrt{6}=2.450\text{．}$

【１】　三角形$\mathrm{ABC}$の頂角$\mathrm{A}$の二等分線が外接円に交わる点を$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{D}$から$\mathrm{AB}$に下した垂線の足を$\mathrm{G}\text{，}$$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{F}$とすれば，$\mathrm{FG}$は頂角$\mathrm{A}$の外角の二等分線に平行であることを証明せよ．

【２】　一点$\mathrm{A}$で外接する相等しい二円を${\mathrm{O}}_1\text{，}$${\mathrm{O}}_2$とし，これらの円の半径の二倍の長さを半径とする円$\mathrm{O}$が円${\mathrm{O}}_1$と点$\mathrm{B}$で内接し，円${\mathrm{O}}_2$と二点で交わっているものとする．この二交点のいずれか一方と，$\mathrm{A}$および$\mathrm{B}$は同一直線上にあることを証明せよ．