1954　京都大学　全学部

【１】　次の連立方程式を解け：

$y=\sqrt{2x-a}\text{，}$$x=\sqrt{2y-a}$

ただし常数$a$および未知数$x\text{，}$$y$はいずれも実数とする．

【２】　二次方程式$a{x}^2+bx+c=0$$\text{（}a\text{，}$$b\text{，}$$c$は実数）の図式解法の一つとして次の方法がある．

　直交座標軸を定め，座標がそれぞれ$(-{\displaystyle \frac{b}{2a}},{\displaystyle \frac{c+a}{2a}})$および$(0,1)$である二点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{A}$をとり，$\mathrm{C}$を中心として$\mathrm{A}$を通る円をえがく．

　もしこの円が横軸と二点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$で交われば$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$の横座標は与えられた方程式の二つの実根を表わす$\text{（}\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$が一致するときは実の等根）．またもしこの円が横軸と交わらないならば与えられた方程式は二つの虚根をもつ．この場合には円の中心$\mathrm{C}$から横軸に下した垂線の足$\mathrm{K}$の横座標を$\alpha$とし，$\mathrm{K}$から円に引いた接線$\mathrm{KT}$の長さを$\beta$とすれば，二根は$\alpha \pm \beta i$で与えられる．

　この解法の正しいことを証明せよ．

【１】　数字$1\text{，}$$2\text{，}$$3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$6\text{，}$$7\text{，}$$8\text{，}$$9$の一つを記入したカードが$36$枚あってどの数字のも$4$枚ずつある．これらのカードをよくきって$3$枚のカードを取り出し，取り出した順序に左から右へならべて三桁の整数を作る．この整数が$573$より大きくなる確率を求めよ．

【２】　座標の原点を通って直線を引き，曲線$y=x^3+6x^2+9x$と三点で交わるようにしてしかも直線と曲線とで囲まれる二つの部分の面積が等しくなるようにしたい．その直線の方程式を求めよ．

【１】　次に述べる事柄のおのおのについて正しいかどうかを答えよ（証明は要しない）．正しくないときにはさらに反例（正しくないことを示す例）をあげよ．

(1)　三角形$\mathrm{ABC}$の一辺$\mathrm{AB}$の中点$\mathrm{D}$を通る直線が直線$\mathrm{AC}$と点$\mathrm{E}$で交わり$\mathrm{DE}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{BC}$ならば直線$\mathrm{DE}$は辺$\mathrm{BC}$に平行である．

(2)　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$を円周上の二定点，$\mathrm{P}$をその円周上の任意の一点とするとき，円周角$\mathrm{APB}$は常に一定である．

(3)　平面上で四辺形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CD}\text{，}$$\mathrm{DA}$が他の四辺形$\mathrm{PQRS}$の辺$\mathrm{PQ}\text{，}$$\mathrm{QR}\text{，}$$\mathrm{RS}\text{，}$$\mathrm{SP}$にそれぞれ等しければこの二つの四辺形は合同である．

(4)　平面上の正多角形の外角の和は辺の数には無関係に一定である．

(5)　三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{P}$を辺$\mathrm{BC}$の一点とする．もし${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2=2({\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BP}}^2)$ならば$\mathrm{P}$は$\mathrm{BC}$の中点である．

【２】　円$\mathrm{O}$の一つの弦$\mathrm{AB}$の一点$\mathrm{P}$において$\mathrm{AB}$に接し，かつ円$\mathrm{O}$に内接する円をえがき，その内接点を$\mathrm{C}$とするとき，直線$\mathrm{CP}$は三角形$\mathrm{ABC}$とどんな関係にあるか．（証明を要する）