1955　京都大学　全学部

【１】　次の$$の中に適当な数字または文字を入れよ．（証明不要）

(1)　$2^{15}$は$$桁（けた）の数である．$\text{（}\log 2=0.30103$とする）

【１】　次の$$の中に適当な数字または文字を入れよ．（証明不要）

(2)　二次函数$f(x)=x^2-x+2$は$x=$のとき最$$値をとる．

【２】　函数$y=\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}$$+\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}$のグラフをえがけ．

【３】　三辺が$15\mathrm{cm}\text{，}$$19\mathrm{cm}\text{，}$$23\mathrm{cm}$の三角形がある．三辺がそれぞれ$x\mathrm{cm}$だけ短かい鈍角三角形をつくり得るための$x$の範囲を求めよ．

【１】　次の$$の中に適当な数字または文字を入れよ．（証明不要）

(1)　${(1+x)}^{10}$の展開における$x^5$の係数は$$である．

【１】　次の$$の中に適当な数字または文字を入れよ．（証明不要）

(2)　$\sin x+\cos x=\sin (x+)$

【２】　$n$をある正の整数とするとき，$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$における函数$y=n{x}^n(1-x)$の最大値を求めよ．またこの最大値は$n$のどんな正整数値に対して最も大きくなるか．

【３】　ガラス容器があってその形状は次の三つの線で囲まれた部分を$y$軸のまわりに回転してできる回転体であるとする．

　放物線$y=x^2\text{，}$これを$y$軸に平行に$0.5$だけ上方に移動した放物線，直線$y=16\text{，}$ただし座標軸上に測る長さの単位は$\mathrm{cm}$とする．

　この容器に水を入れて静かに水中に浮べたとき外の水がちょうど容器の口まで達したとする．そのときの容器の水の深さ，すなわち容器が水に浮ぶための容器内の水の深さの限界を，ガラスの比重は$2.6$として計算せよ．$\text{（}\mathrm{mm}$未満は切捨てよ）

【１】　次の$$の中に適当な数字または文字を入れよ．（証明不要）

(1)　二定点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$からの距離の平方の和が一定の値$k$$\text{（}k>0\text{）}$であるような点の軌跡は$$である．

【１】　次の$$の中に適当な数字または文字を入れよ．（証明不要）

(2)　一辺の長さ$a$の正三角形の内接円の半径は$$であり，外接円の半径は$$である．

【２】　円周上の任意の点$\mathrm{P}$において接線を引き，定直径$\mathrm{AB}$の延長との交点を$\mathrm{C}$とする．$\mathrm{\angle ACP}$の二等分線と直線$\mathrm{AP}$とは常に定角をなすことを証明せよ．

【３】　縦横それぞれ$10\mathrm{cm}\text{，}$$20\mathrm{cm}$の長方形を底面とし，側稜が底面に垂直な四角柱がある．これを底面の一頂点を通る平面で切ったとき，切り口が菱（ひし）形で，底面から最も高い頂点が$30\mathrm{cm}$の高さにあったという．この菱形の対角線の長さの比を求めよ．