1956　京都大学　全学部

【１】　${\displaystyle \frac{2x-3}{x^2}}>{\displaystyle \frac{1}{6-x}}$を解け．

【２】　実数$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の間に

$x^2+y^2+z^2+2xyz=1$

という関係があるときは，$x\text{，}$$y\text{，}$$z$の絶対値は同時に$1$以上$\text{（}\geqq 1\text{）}$であるか，または同時に$1$以下$\text{（}\leqq 1\text{）}$であることを証明せよ．

【３】　周囲の長さ$\text{（}l\text{）}$の長方形$\mathrm{ABCD}$がある．$\mathrm{AD}$を$1$辺にもつ正三角形$\mathrm{ADE}$をこの長方形から取り除いて五角形$\mathrm{ABCDE}$を作る．この五角形の面積が最大となるとき辺$\mathrm{BC}$の長さはいくらか．

【１】　$1$辺の長さ$a$の正方形$\mathrm{ABCD}$の辺$\mathrm{AB}$の延長（$A$を含まない方）上に$\mathrm{A}{\mathrm{B}}_1=\mathrm{AC}$となるように点${\mathrm{B}}_1$をとる．次に，$\mathrm{B}{\mathrm{B}}_1$を$1$辺にもつ正方形$\mathrm{B}{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$をえがき，辺$\mathrm{B}{\mathrm{B}}_1$の延長（$\mathrm{B}$を含まない方）上に$\mathrm{B}{\mathrm{B}}_2=\mathrm{B}{\mathrm{C}}_1$となるように点${\mathrm{B}}_2$をとる．このようにして次々に${\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_2\text{，}$${\mathrm{B}}_3\text{．}$$\cdots$をとって作った線分

$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{B}{\mathrm{B}}_1\text{，}$${\mathrm{B}}_1{\mathrm{B}}_2\text{．}$$\cdots$

の長さの和を求めよ．

【２】　$2$曲線

$y=2x^4-7x^2+7\text{．}$$y=-2x^4+2x-3$

の間にはさまれ，$y$軸に平行な線分の長さの最小値を求めよ．また，最小のとき，線分の両端における$2$曲線の接線は互いに平行であることを示せ．

【３】　点$(0,1)$を通る直線と放物線$y=x^2$とで囲まれた部分の面積が${\displaystyle \frac{5\sqrt{5}}{6}}$であるという．この直線の傾きを求めよ．

【１】　$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$は定直線$g$の同じ側にある$2$定点とする．$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$から$g$上の点$\mathrm{P}$にいたる距離の和$\mathrm{AP}+\mathrm{BP}$が最小となるような点$\mathrm{P}$を求めよ．

【２】　凸（とつ）四辺形$\mathrm{ABCD}$において辺$\mathrm{AB}\text{，}$$\mathrm{CD}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とする．$\mathrm{AD}+\mathrm{BC}=2\mathrm{MN}$ならば，この四辺形はどんな形であるか．

【３】　円$C$外の$1$点$\mathrm{O}$からこの円に引いた$2$接線の接点を$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$とし，$\mathrm{OA}\text{，}$$\mathrm{OB}$の中点をそれぞれ$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}$とする．直線$\mathrm{MN}$上の任意の点$\mathrm{P}$から円$C$に引いた接線の長さは$\mathrm{OP}$に等しいことを証明せよ．