1957　京都大学　全学部

【１】　$x\text{，}$$y\text{，}$$z$は$0$でない実数とする．$5^x=2^y=\sqrt{{10}^z}$ならば${\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{y}}={\displaystyle \frac{2}{z}}$であることを示せ．

【２】　$a\text{，}$$b\text{，}$$c\text{，}$$d\text{，}$$e\text{，}$$f$をいずれも$0$から$9$までの数字とする．$6$桁の整数$\mathit{abcdef}$を適当に定めて，その$2$倍が$\mathit{cdefab}$となるようにせよ．ここに$\mathit{abcdef}$は，通常の十進法による記法であって，整数

${10}^{5}a+{10}^{4}b+{10}^{3}c+{10}^{2}d+10e+f$

を表わすとし，$\mathit{cdefab}$についても同様であるとする．

【３】　$x$に関する二次方程式

$x^2+(4a+1)x+a^2=0$

がある．その$2$根のうちただ$1$つが$0$と$1$の間（$0$および$1$を含める）にあるために$a$のとるべき実数値の範囲を求めよ．

【１】　$n\to \infty$のとき，次の式の極限値を求めよ．

$\sqrt{n+1}(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$

【２】　円形のブリキ板から$1$つの扇形部分を切り去り，残部を曲げて直円錐形の容器を作り，その容積を最大ならしめたい．切り去るべき扇形部分の中心角はほぼ何度であるか．（度未満は切り捨てて答えよ）

【３】　曲線$y=x^3+2x^2-8$と，原点に関してこれと対称な曲線との略図をえがき，それが$2$点だけで交わることを示し，両曲線で囲まれた有限部分の面積を計算せよ．

【１】　円周上の$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で定まる$2$つの弧のいずれか一方の上に$4$点$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{D}\text{，}$$\mathrm{E}\text{，}$$\mathrm{F}$をとって$\stackrel{⏜}{\mathrm{CD}}=\stackrel{⏜}{\mathrm{DE}}=\stackrel{⏜}{\mathrm{EF}}$ならしめ，直線$\mathrm{AC}\text{，}$$\mathrm{AD}\text{，}$$\mathrm{AE}\text{，}$$\mathrm{AF}\text{，}$$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{BD}\text{，}$$\mathrm{BE}\text{，}$$\mathrm{BF}$を引く．$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}\text{，}$$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BE}\text{，}$$\mathrm{AE}$と$\mathrm{BF}\text{，}$$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{AE}$と$\mathrm{BD}\text{，}$$\mathrm{AF}$と$\mathrm{BE}$がいずれも相交わるとし，それら各$2$直線の交点をそれぞれ$\mathrm{L}\text{，}$$\mathrm{M}\text{，}$$\mathrm{N}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$とする．このとき$5$点$\mathrm{ALMNB}\text{，}$$\mathrm{APQRB}$はそれぞれ同一円周上にあることを示せ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$の$3$辺$\mathrm{BC}\text{，}$$\mathrm{CA}\text{，}$$\mathrm{AB}$の上にそれぞれ点$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}\text{，}$$\mathrm{R}$があって，

$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}=\mathrm{CQ}:\mathrm{QA}=1:2$

$\mathrm{▵ABC}:\mathrm{▵PQR}=45:14$

である．このとき比$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}$の値を計算せよ．

【３】　$2$点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$で交わる$2$円において，$\mathrm{A}$を通る$1$直線を引き，その$2$円と交わる点を$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$として$\mathrm{AP}=\mathrm{AQ}$ならしめる．$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$においてそれぞれの円に接線を引き，その交点を$\mathrm{C}$とするとき，次のことを証明せよ．

(1)　$4$点$\mathrm{B}\text{，}$$\mathrm{C}\text{，}$$\mathrm{P}\text{，}$$\mathrm{Q}$は同一円周上にある．

(2)　${\mathrm{AP}}^2=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{AC}$